顾志华,陈亚婷

(河北农业大学理学院，河北保定　071001)



A-调和方程与微分形式关系

顾志华,陈亚婷

(河北农业大学理学院，河北保定071001)

A-调和方程和微分形式在电磁学与流体力学中占有重要的地位，研究他们之间的关系尤为重要.介绍了2类加权微分形式，并证明了微分形式与A-调和方程之间的关系.

A-调和方程；黎曼流形； 微分形式；算子

MSC2010:43A15；35J60

A-调和方程理论在偏微分方程、位势理论和拟共形分析等领域发挥着非常重要的作用.求解调和方程是电磁学、流体力学和天文学等领域经常遇到的一类重要的数学问题,其中A-调和方程解的性质为研究的重点[1-6].而流形上的微分形式在物理学科也有着特殊的意义,所以研究调和方程与微分形式之间的关系也显得尤为重要.近几年中，A-调和形式理论的研究已经取得了显着的进步.该理论的结论以及它们的应用已经被发现[7-9].在本文中，引入了2类微分形式，这2类微分表达式与拟线性椭圆方程之间有着密切的关系.本文中用到的符号、表述都可以在文献[9]中见到.

设M和N是C3类的黎曼流形，算子*：∧k(M)→∧n-k(M)称为Hodge星算子，具有以下性质：对于任意的α，β∈∧k(M)，a,b∈R,*(aα+bβ)=a*α+b*β,对于任意的γ∈∧k(M)，有*(*γ)=(-1)k(n-k)γ.对于任意的α，β∈∧k(M)，內积〈α,β〉=*-1〈α,*β〉=*(α∧*β),Hodge星算子的逆算子记为*-1，满足*-1(*γ)=*(*-1γ)=γ.

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设ω(x)为权函数，若ω(x)∈Lloc(M)，ω(x)>0，则μ(E)=∫Eω(x)dx.

1　黎曼流形上的微分形式

(1)

则称α是弱闭的微分形式.

定义2设γ是黎曼流形M上弱闭的微分形式，

(2)

若存在弱闭的微分形式θ，

(3)

使得几乎处处有

v0|θ|q≤ωq-1〈γ，*θ〉+v1ωq|θ|,

(4)

其中v0、v1是常数,则称γ是黎曼流形M上的DF1类.

定义3设γ是黎曼流形M上满足(2)的弱闭的微……