陈佳宏

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006)



关于矩阵和的秩等式

陈佳宏

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006)

用矩阵打洞的方法给出了有限个矩阵和的秩等式成立等价于这些矩阵可以同时相抵对角化.此结论是对一些文献中已有结论的进一步细化.作为应用，对一些文献中的结论进行了简洁、直接的证明.

秩；矩阵打洞；秩等式；同时对角化

1　预备知识

Sylvester在1851年将一个矩阵的秩定义为它的所有非零子式的最高阶数.作为刻画矩阵的数值特征，矩阵的秩是高等代数中的一个重要的基本概念，并在其他数学领域中得到广泛应用.矩阵和的秩不等式是矩阵论中关于秩的一个重要不等式，其中等号何时成立，即矩阵和的秩等式何时成立已有不少文献论及[1-5].本文用矩阵打洞的方法结合矩阵的相抵标准形给出了有限个矩阵和的秩等式成立的充要条件是这些矩阵可以同时相抵对角化，并给出所得结论的应用，同时指出这些结论是一些文献中已有结论的细化.

以下论证的主要依据是矩阵打洞的方法.所谓矩阵打洞就是对分块矩阵进行初等变换.对分块矩阵进行初等变换后所得到的矩阵含有零子矩阵，即有“洞”.因此已故数学大师华罗庚将之形象地称为矩阵打洞.

先引入一些记号和引理：

记F为任意数域，以下假定所有矩阵都定义在F上，In表n阶单位阵，

r(A)表任意阶矩阵A的秩，

在不致混淆的情形下，以下不再标出矩阵的具体阶……