张小霞

初中数学“统计与概率”部分中“概率”内容虽然很少，但也是重要知识点，是中考的必考内容之一.中考中关于概率试题通常背景新颖，贴近生活，让人感到真实亲切，体现了概率的应用性和趣味性.近几年来，中考考题中比较密集的题型有如下这些.

一、计算概率

例1 （2015·山东泰安）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）

【分析】随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，与图中阴影部分构成轴对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】选C.

【点评】运用公式P（A）=[mn]求简单事件发生的概率，关键是要能分清一次试验中会出现哪些等可能的结果数n，以及使事件A发生的结果数m.

例2 （2015·安徽）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.

（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；

（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率.

【分析】要想准确地解答本题，我们首先要仔细地审题，反复推敲文字表达的意思，解决以下两个问题：（1）游戏分几步完成；（2）类比“摸球”问题，分清每次游戏是“放回”还是“不放回”.若第一次出现的结果在第二次仍可出现则是“放回”的.若第一次出现的结果在第二次不能再出现则是“不放回”的.注意本题中的文字信息“每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人”，即意味着“不放回”.

【解答】（1）本题求两次传球后，球恰在B手中的概率，即游戏分两步完成，所以既可以用树状图法又可以用列表法分析解决.

方法一：树状图法

两种方法均可得到4种等可能结果，而恰好落在B手中只有1种情况，故答案为[14].

（2）本题求三次传球后，球恰在B手中的概率，即游戏分三步完成，所以只可以用树状图法解决.

画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中有2种情况，∴三次传球后，球恰在A手中的概率为[28]=[14].

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.树状图法与列表法可以不重复不遗漏地列出所有等可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意分清此题是放回试验还是不放回试验，并注意概率为所求情况数与总情况数之比.

二、利用概率判断游戏的公平性并设计相应的游戏规则

例3 （2015·云南）现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字.

（1）请用列表或画树状图的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；

（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢.你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你修改游戏规则，使之公平.

【分析】列举出所有情况，看向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的情况占总情况的多少即可.

【解答】（1）由树状图或列表法分析可得：

共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，∴P（数字之积为6）=[318]=[16].

（2）该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=[718]，小王赢的概率=[1118]，故小王赢的可能性更大，游戏不公平.

修改规则的方法不唯一，只要使得游戏双方获胜的概率相等即可.例如：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为2，则小明赢，若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为3，则小王赢，否则视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性与否就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.这也为制定公平的游戏规则提供了一种思路和方法.

三、统计与概率知识的综合运用

例4 （2015·湖北咸宁）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛.各参赛选手的成绩如下：

九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100

九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99

通过整理，得到数据分析表如下：

（1）直接写出表中m、n的值；

（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；

（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率.

【分析】（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数，即可求出所求的概率.注意：可以用A1，B1表示九（1）班两名98分的同学，C2，D2表示九（2）班两名98分的同学，可使树状图较为简洁.

【解答】（1）m=94，n=95.5（求中位数需先排序）；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）；（3）所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种，则P （另外两个决赛名额落在同一个班）=[412]=[13].

【点评】 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识是概率为所求情况数与总情况数之比.

四、概率与多个知识的整体考核

例5 （2015·四川）甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2，0.现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）.

（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；

（2）求点M（x，y）在函数y=-x+1的图像上的概率；

（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率.

【分析】（1）用树状图法（列表法）展示所有9种等可能的结果数；

（2）根据一次函数图像上点的坐标特征，从9个点中找出满足条件的点，然后用概率公式计算；

（3）利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作⊙O的切线，则可计算出过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率.

【解答】（1）共九种等可能结果（树状图略）.

（2）共有9种等可能结果，其中在函数y=-x+1图像上的点有2种，故概率为[29].

（3）在⊙O上的点有（0，-2），（2，0），在⊙O外的点有（1，-2），（2，-1），（2，-2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=[59].

【点评】 本题的亮点在于将概率与函数、圆的知识结合，体现了数学知识的相互交融，要想顺利地解决此类问题需要对各个知识点掌握扎实，才能运用自如.

概率是中考命题的重点之一，经常与统计、函数、几何图形等知识综合在一起考查，我们需牢固掌握树状图（列表）法，利用概率公式解决此类问题.题目千变万化，需要我们养成良好的审题习惯，善于总结归纳，力争让自己不断进步.

（作者单位：江苏省无锡市梅里中学）