樊　梦，王同科

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

分数阶光滑函数三次插值公式余项估计

樊梦，王同科

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

利用局部分数阶Taylor公式，导出了分数阶光滑函数等距节点三次Lagrange插值公式余项的精确估计式，并通过数值算例验证了理论分析的正确性

局部分数阶导数；分数阶Taylor公式；三次插值；余项估计；收敛阶

1　引言及预备知识

插值法［1-2］是利用函数f（x）在某区间中若干点的函数值，构造适当的特定函数，在这些点上取已知值，在其他点上用这些特定函数的值作为f（x）近似值的方法.设f（x）在某区间上有定义，xi，i=0，1，…，n为该区间上互不相同的n+1个点，多项式插值就是求一个不超过n次的多项式pn（x），使得pn（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.pn（x）的Lagrange表示形式为pn（x）=其中插值基函数

当f（x）∈C［a，b］时，pn（x）的差商型余项为

许多学者对不同的插值问题做了深入研究.文献［3］研究了连续函数非等距节点线性插值的误差估计.文献［4］总结了一些插值的收敛性问题.文献［5］给出了分段光滑函数的误差估计式.虽然差商型余项对函数的光滑性要求很弱，但其无法给出插值余项的精确刻画.文献［6］对于分数阶光滑函数的线性和二次插值函数，给出了插值余项的精确刻画，其中使用的主要工具是局部分数阶导数［7-11］.本研究在分数阶光滑函数二次插值公式余项估计的基础上，给出了三次插值公式的余项表达式，并通过一些具体实例，借助Mathematica［12］程序验证余项估计式的正确性.

定义1［8-9］（KG局部分数阶导数）设f（x）∈Ck［a，b］，给定x0∈［a，b］，若存在k＜α＜k+1，使得……