夏亚荣

(1.西北大学 数学学院, 陕西 西安　710127; 2.西安文理学院 信息工程学院, 陕西 西安　710065)



广义非线性扩散方程的条件 Lie-Bäcklund对称和不变子空间

夏亚荣1,2

(1.西北大学 数学学院, 陕西 西安710127; 2.西安文理学院 信息工程学院, 陕西 西安710065)

运用不变子空间方法和条件 Lie-Bäcklund 对称研究广义非线性扩散方程，得到了方程允许的不变子空间, 等价于方程的高阶条件Lie-Bäcklund对称。最后通过例子构造出一些广义非线性反应扩散方程的广义泛函分离变量解。

非线性扩散方程; 不变子空间; 条件 Lie-Bäcklund 对称; 广义泛函分离变量解

O175.14

ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-01-003

非线性现象广泛地呈现在物理、生物、化学等领域。近年来, 对于描述非线性现象的非线性偏微分方程的求解已成为广大科学工作者的重要研究课题之一。对称群理论在构造非线性偏微分方程的精确解中发挥了重要的作用, 最早由Lie提出, 即Lie点对称方法；Bluman和Cole推广了Lie点对称方法, 提出了非经典对称方法(即条件对称方法)；Fokas和Liu推广了条件对称方法, 提出了条件 Lie-Bäcklund 对称方法[1]；Ji在文献[2]中首次提出利用变换v=f(u)将非线性条件 Lie-Bäcklund 对称线性化, 再利用与条件Lie-Bäcklund 对称方法相关的不变子空间方法[3]构造广义泛函分离变量解。

本文主要利用此方法研究了一类在物理中有重要意义的广义非线性反应扩散方程

ut=[D(u)ux]x+g(x)Q(u)。

(1)

其中D(u),Q(u)分别称为对流项和源项。

1　条件 Lie-Bäcklund 对称和不变子空间理论

令

(2)

是具有特征 η=P[u] 的演化向量场,且

ut=F(x,t,u,u1,u2,…，un)

(3)

为一非线性演化方程,其中

定义1演化向量场 (2) 是方程 (1) 的Lie-Bäcklund对称当且仅当

V(ut-F[u])|L=0。

(4)

定义2演化向量场(2)是方程(1)的条件Lie-Bäcklund对称当且仅当