□裴　锫（山西水利水电勘测设计研究院）

大坝沉降监测的时间序列与预报

□裴锫（山西水利水电勘测设计研究院）

基于平稳性时间序列分析理论，对大坝沉降监测数据时间序列进行模式识别、参数估计，建立变形监测分析与预报的A RM A模型。结合实例，运用该模型对变形监测数据进行动态分析和预报，将拟合和预报数据同原始数据进行比较分析，结果表明A RM A模型处理动态监测数据是十分可行和有效的，具有重要的应用价值。

平稳序列；时间序列；变形监测；分析和预报

0　引言

大坝的建设是利国利民的重大举措，其安全性显得尤为重要。随着时间的推移，由于某些因素的影响大坝有可能发生沉降、倾斜等变形，而这种变形如果超过合理的限度，将会影响到它的正常使用，甚至对其安全造成威胁。为了避免这种变形可能造成的潜在威胁，需要对它们进行定期监测，分析其变形规律并作出相应的预报。目前，对变形监测数据处理的方法很多，有回归分析、时间序列分析法、灰色系统理论、神经网络法等。时间序列法是一种动态数据处理方法，利用观测数据之间的自相关性建立相应的数学模型来描述监测对象的变化规律与特征，并预测其未来的变化。文章采用时间序列方法对某大坝监测数据进行处理，取得了较好的拟合效果和较高的预测精度。

1　平稳时间序列的模型建立与预报

1.1监测数据的平稳化处理

大量地表监测数据特征表明，沉降量序列是由沉降量趋势项和沉降量平稳序列两部分组成。沉降量序列可表示为：

式中，{St}表示沉降量序列，{Ht}表示沉降量趋势项，{Xt}表示沉降量平稳序列。

现对监测数据进行平稳化处理，运用差分方法消除趋势项。若设Ht=at+b，采用一阶差分▽St=St-St-1=a+Xt-Xt-1=a+▽Xt，a为常数，将▽称为差分算子。当趋势项是时间t的一次函数时，通过一阶差分建立起平稳时间序列{▽St}。同样地，如果趋势项Ht是时间t的二次函数时，设Ht=at2+bt+c,▽2St=▽St-▽St-1=▽2Xt，通过二阶差分，就可建立起平稳性时间序列{▽2St}。

1.2时间序列原理及模型

对于平稳、正态、零均值的时间序列{Xt}，其取值不仅与前p个，取值Xt-1，Xt-2，L,Xt-p有关，而且还与前q步的各个干扰at-1，at-2，…，at-p有关，得到一般的ARMA模型：

式中，(i=1，2，L，p)称为自回归参数φi，(i=1，2，，q)称为滑动平均参数，ai(i=t-q，，t-2，t-1，t)为白噪声序列，同时a～N(0，б2)。式(2)称为自回归滑动平均模型，记为ARMA(p，q)。当=0时，式(2)变成

式(3)称为p阶自回归模型，记为AR(p)。当φi=0时，式(2)变成

式(4)称为q阶滑动平均模型，记为MA(q)。

1.3模型类型与阶数的确定

由于沉降量序列在消除了趋势项后，就由非平稳序列转化为平稳序列，因而可选用自回归AR(p)模型。设X1，X1，L，XN为零均值的时间序列{Xt}的其中一组样本观测值，下面以此样本观测值为例介绍AR(p)模型一般建模步骤。

样本自协方差函数为：

1.3.3模型参数的估计

平稳时间序列{Xt}可用AR模型表示为：

式中YN=（Xp+1,Xp+2,L,XN）T，ФN=（φ1，φ2，L,φp）T,AN=（zp+1,zp+2, L,zn1）T

根据最小二乘理论，参数最小二乘估计为

求得参数φ1，φ1，L，φp后，就可以根据(3)式对样本监测数据进行预报。

2　实例计算与分析

以福建省某大坝部分监测点的沉降监测数据为例，采用时间序列方法对其中ⅡR1-1、ⅡR1-3两个点的沉降量进行变形分析与预测。提取监测点的34期数据，用前29期数据建立时间序列模型，并对后5期进行沉降预测，同时与原始沉降量进行比较验证。提取ⅡR1-1点的数据进行分析计算。

首先对监测数据进行平稳性检验，发现ⅡR1-1点呈明显的下降趋势，为不平稳序列，因此需要进行平稳化处理。采用二次差分的方式，得到的数据序列消除了逐渐下降的趋势，可视为宽平稳性时间序列，记为{Xt}，该序列满足平稳、零均值的条件。分别计算{Xt}的自相关函数和偏相关函数，见表1。

表1　自相关函数值和偏相关函数值表

利用平稳序列{Xt}建立自回归AR(p)模型，根据偏相关函数的截尾特性，确定阶数为3σ。同原理，当k>p时逐渐服从正态分布N(0，1/N)，对每个p>0分别计算+M,p+M，以此确定自回归模型的阶数为3。根据式(6)，运用最小二乘方法进行参数估计，求得φ1=-1.16，φ2=-0.93，φ3=-0.55。得到序列{Xt}的AR(3)模型：

由于序列{Xt}由{St}二次差分得到，由此得到

利用该模型求监测点ⅡR1-1的前29期模型拟合值并与实测值进行比较。结果发现绝大多数都比较吻合，相差都在1mm以内，拟合精度较高。采用此AR(3)模型对该点后5期(30～34期)进行预报，预报残差结果见表2。

表2　ⅡR1-1点预测结果比较表（单位：mm）

从表2可以看出，ⅡR1-1点的后5期预报效果比较满意，精度较高，相差都在0.50mm以内，可以比较准确地反映出监测点的沉降变化规律。为了更客观地验证该模型的准确性，同时对ⅡR1-3点后5期沉降量进行预测，见表3。

表3　ⅡR1-3点预测结果比较表（单位：mm）

从表3看出，此模型对ⅡR1-3点的预报精度也比较高。因此可以看出，采用AR(3)模型对ⅡR1-1和ⅡR1-3监测点进行拟合分析和短期预报都取得了比较理想的效果。

3　结论

对于平稳性动态监测数据，采用时间序列方法对其进行分析与预报是可行而且有效的，并且通过动态监测数据建立的时间序列模型能够准确地反映动态数据之间的内在关系及监测点的变化特征与规律。将时间序列方法应用于大坝沉降监测数据序列，具有建模容易、计算方便简单和预报快速、准确的特点，同时采用时间序列模型对监测点进行短期预报效果较好，随着预测的步长增加，预测精度有所降低，因此应尽量用时间序列进行短期预报。

（责任编辑：左英勇）

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