时统业，　李照顺，　夏　琦

(海军指挥学院信息系， 南京211800)



Hermite-Hadamard不等式推广的q-模拟

时统业，李照顺，夏琦

(海军指挥学院信息系， 南京211800)

利用凸函数和q-积分的定义和性质，给出Hermite-Hadamard不等式一个推广的q-模拟.分别在q-导数的绝对值是凸函数、q-导数有界这两种情况下，给出由此q-模拟所产生的差式的估计.

q-积分；q-导数；q-Hermite-Hadamard不等式； 凸函数

1　引　　言

若f是区间I上的凸函数，则对任意a，b∈I，a

(1)

式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式[1].

关于式(1)的各种推广和加细以及各种类型凸函数的Hermite-Hadamard型不等式，请参阅文献[2] .

引理1[3]设f(x)为区间I上的凸函数，则f(x)在开区间(a，b)⊂I内处处存在左、右导数(从而处处连续)，且对x，y∈(a，b)，x

近些年，量子积分不等式引起许多学者的兴趣[4-11]，其中文献[7]给出连续凸函数的q-Hermite-Hadamard不等式.

定义1[9]设f：[a，b]⊂→是连续函数，x∈[a，b]，则称

为f在x处的q-导数.

定义2[5]设f∶[a，b]⊂→是连续函数，x∈[a，b]，则f的Riemann型q-积分定义为

若c∈(a，x)，则f的q-积分定义为

引理2[8]设f，g∶[a，b]⊂→是连续函数，α∈，则对任意x∈[a，b]有

证由q-积分定义可证明，这里略去.

引理4[9]设α∈{-1}，则有

引理5[7](q-Hermite-Hadamard不等式)设f∶[a，b]⊂→是连续凸函数，则有

(2)

王良成在文献[12]中给出式(1)的如下推广：

定理1[12]设f是[a，b]上的连续凸函数，p∈(0，1)，ξ=pa+(1-p)b，则

(3)

文[10]在q-导数的绝对值是凸函数的情况下，给出由式(2)右端部分所产生的差式的估计.本文将给出式(3)的q模拟，并仿照文[10]的方法，分别在q-导数的绝对值是凸函数、q-导数有界这两种情况下，给出由式(3)左端部分和右端部分所产生的差式的估计.当q→1时，我们得到已有文献的结果.

为方便起见，引入下面记号：

为证明本文的主要结果，需要下面涉及q-积分的恒等式和一些多项式的q-积分.

(4)

证不妨设

则由引理2和引理3得

(5)

(6)

证类似于引理6证明，这里略去.

引理8设0

2　主要结果

≤pf(a)+(1-p)f(b).

(7)

证由凸函数的定义，对任意x∈[a，b]，有

(8)

(9)

对式(8)和式(9)中的x在[a，b]上求q-积分得

(10)

(11)

由引理1，对任意x∈[a，b]有

(12)

(13)

对式(12)，(13)中的x在[a，b]上积分得

(14)

(15)

其中利用了下面事实：

≤pf(a)+(1-p)f(b).

证在定理2中令q→1即可得证.

|I(a,b;p,q;f)|

(16)

利用引理8，式(16)得证.

注2设|f′|是[a，b]上的凸函数，在定理3中令q→1，则由式(16)得

特别地，当p=1/2时，得到下面梯形不等式[13]

定理4设f∶[a，b]→是连续函数，和在[a，b]上可积，且，则有

(17)

利用引理8，式(17)的右端部分得证.同理可证式(17)的左端部分.

注3设m≤f′≤M，在定理4中令q→1，则由式(17)得

特别地，当p=1/2时得到下面的梯形不等式[14]

定理5设f∶[a，b]→是连续函数，和是[a，b]上的凸函数且可积，则有

(18)

证类似于定理3证明，这里略去.

注4设|f′|是[a，b]上的凸函数，在定理5中令q→1，则由式(18)得

特别地，当p=1/2时，得到下面的中点不等式[15]

定理6设f∶[a，b]→是连续函数，和在[a，b]上可积，且，则有

(19)

证与定理4的证明同理可证，这里略去.

注5设m≤f′≤M，在定理6中令q→1，则由式(19)得

特别地，当p=1/2时，得到下面的中点不等式[16]

[2]Dragomir S S,Pearce C E M.Selected Topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[DB]. http:∥rgmia.vu.edu.au/SSDragomirweb.html.

[3]刘三阳，李广民.数学分析十讲[M].北京：科学出版社，2011:89.

[4]Ernst T.A comprehensive treatment ofq-calculus[M].Basel: Birkhauser,2012.

[6]Gauchman H. Integral inequalities inq-calculus[J].Comput.Math.Appl., 2004(47):281-300.

[8]Tariboon J,Ntouyas S K.Quantum calculus on finite intervals and applications to impulsive difference equations[J]. Advances in Difference Equations,2013:282.

[9]Tariboon J,Ntouyas S K.Quantum integral inequalities on finite intervals[J].J.Inequal.Appl.2014:121.

[10]Sudsutad W,Ntouyas S K,Tariboon J.Quantum integral inequalities for convex functions[J].Journal of Mathematical Inequalities,2015,9(3):781-793.

[11]Noor M A,Noor K I,Awan M U.Some quantum estimates for Hermite-Hadamard inequalities[J].Applied Mathematics and Computation,2015(251):675-679.

[12]王良成.凸函数的Hadamard不等式的若干推广[J].数学的实践与认识，2002，32(6)：1027-1030.

[13]Dragomir S S, Agarwal R P.Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and trapezoidal formula[J].Appl.Math.Lett., 1998,11(5): 91-95.

[14]Barnett N S, Dragomir S S.Applications of Ostrowski’s version of the Grüss inequality for trapezoid type rules[J]. Tamkang J.Math., 2006, 37(2): 163-173.

[15]Kirmaci U S.Inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to midpoint formula[J].Applied Mathematics and Computation , 2004(147): 137-146.

The q-analogue of a Generalization of Hermite-Hadamard Inequality

SHITong-ye，LIZhao-shun，XiaQi

(Department of Information,PLA Naval Command College，Nanjing 211800, China)

Starting from the definition and basic properties of convex functions andq-integral，theq-analogue of a generation of Hermite-Hadamard inequality is obtained.The estimates of the difference generated by theq-analogue are given when the absolute value ofq-derivative is convex function orq-derivative is bounded.

q-integral;q-derivative;q-Hermite-Hadamard inequality; convex function

2016-01-11;[修改日期]2016-05-20

时统业(1963-),男，硕士，副教授，从事基础数学教学与研究.Email:shtycity@sina.com

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A

1672-1454(2016)03-0030-07