高迎 石夫磊



浅谈选择公理及其等价命题

高迎 石夫磊

首都经济贸易大学信息学院，北京 100070

对选择公理的背景知识及其在数学中的地位与作用以及若干等价命题作了比较系统的论述．

选择公理；集合；函数；代数

引言

1904年，策莫罗（E．Zermelo）最早提出选择公理：对于任何一个由非空集合所组成的集而言，其必定存在选择函数。选择公理应用在几乎所有的数学分支中。可以毫不夸张地说，如果没有选择公理，那么数学绝对不是今天这个样子。

1918年，谢宾斯基关于选择公理提出了宝贵的意见，他建议数学家们研究与其有关的各种命题的推理强度。后来，随着研究力度的逐步加大，越来越多的等价形式被数学家们发现[1-2]。

1938年，哥德尔证明了，在系统的每一模型中都存在一个内模型，选择公理以及广义连续统假设在其上是成立的。哥德尔的贡献是巨大的，他打消了人们对于选择公理的疑虑。

1958年，弗兰科尔曾经写道：“继欧几里德之后研究最多的数学公理莫过于选择公理了”。

到1963年，H. 拉宾（H．Rubin）和J. 拉宾两个人合作，他们一共收集了关于选择公理的100多种等价形式。

1 选择公理的广泛应用

大多数的代数学家以良序定理的形式使用选择定理是在1935年佐恩发表它的引理之前，然而，那个时候极大性还是与选择公理相关的最主要的代数概念。跟良序定理差别不大，这一概念也越来越多地被用于代数学领域。1918年以后，随着代数的抽象化程度越来越高，群论、环论、布尔代数以及格论也越来越离不开良序定理，并在线性代数和域论中发现了它的新应用[3]。……