颜凤

（罗定职业技术学院 教育系，广东 罗定 527200）

序半群模糊理想的新推广

颜凤

（罗定职业技术学院 教育系，广东 罗定 527200）

从序模糊点的角度介绍序半群的）-模糊理想的概念，并研究它的相关性质。进而，介绍序半群的素）-模糊理想的概念，并且给出这些概念的刻画。作为这些结果的应用，通过适当修改可以在普通半群中得到相应的性质。

序半群；强凸模糊集）-模糊理想；素）-模糊理想

1965年，Zadeh引入的模糊集概念，奠定了模糊集理论的基础。利用模糊集的概念，Rosenfeld［1］将代数结构模糊化，介绍了模糊子群的概念，这是对经典代数理论的推广。需要指出的是Bhakat和Das在模糊点和模糊子群之间使用“属于”关系（∈）和“拟一致”关系（q）给出了-模糊子群的概念，并且介绍了）-模糊子群的概念［2］。事实上）-模糊子群是对Rosenfeld的模糊子群的一个重要且实用的推广，这个概念也被进一步研究［3，4］。

Kehayopulu和Tsingelis首先在序半群中引入序模糊子集［5］，然后将序半群中一些有用的概念“类似”地推广到模糊序半群中。近来，序半群的模糊集理论被不断研究［6-12］。特别是，谢祥云和唐剑介绍了序半群的序模糊点的概念［9］，并且研究了序半群的素模糊理想［11］。他们利用序半群的模糊点，给出了序半群的-模糊理想和-模糊（广义）双理想，并且利用这些概念刻画了正则序半群。本文的目的是研究序半群的一类新的模糊理想，称为-模糊理想；进而给出序半群利用-模糊理想概念得出一些相应的结论；最后，本文引入了序半群的素-模糊理想的概念，并利用其研究了它们的一些有趣的性质。这篇文章是从序半群理论到“模糊”序半群理论过渡的一个例子。作为本文结果的应用，在半群中经过适当修改便可得到相应的结论。

1　预备知识

在本文中，S是一个序半群，即半群S上有偏序关系“≤”使得

（a，b，x∈S）a≤b⇒xa≤xb，ax≤bx。

S到单位闭区间［0，1］的映射 f称为S的模糊子集。序半群S本身是一个模糊子集，使得S（x）=1，∀x∈S。

用F（S）表示S的所有模糊子集的集合，对于f，g∈F（S），如果（∀x∈S）f（x）≤g（x），则称 f⊆g。对于∀x∈S，f⋂g，f⋃g定义如下：

容易证明（F（S），⊆，⋂，⋃）形成一个以S为最大元和0为最小元的完备格，其中0是一个从S到单位闭区间［0，1］的映射，定义如下：

0:S→［0，1］，x→0（x）:=0，∀x∈S。

容易知道，这个运算“∘”满足结合律，（F（S），∘，⊆）构成一个序半群。

假设S为序半群。对于H⊆S，定义：

对于H=｛a｝，用（a］代替（｛a｝］。对于S的子集A和 B，有：（1）A⊆（A］；（2）如果 A⊆B，那么（A］⊆（B］；（3）（A］（B］⊆（AB］（参见［13］）。

序半群S的一个非空子集A称为S的左（右）理想，如果A满足：（1）SA⊆A（AS⊆A）；（2）如果a∈A，且S∍b≤a，那么b∈A。如果A既是S的左理想又是S的右理想，那么A叫做S的（双边）理想［13］。S的理想 A叫做素理想，如果（∀x，y∈S）xy∈A，那么x∈A或y∈A。

序半群S的模糊子集 f称为S的模糊左（右）理想，如果f满足：

（1）x≤y⇒f（x）≥f（y），

（2）（∀x，y∈S）f（xy）≥f（y）（f（xy）≥f（x））。

S的模糊子集 f称为S的模糊理想，如果它既是S的模糊左理想，又是S的模糊右理想（见［5］）。

定义1［9］假设 f是S的模糊子集，定义（f］如下：

S的模糊子集 f称为强凸的，如果 f=（f］。由定义1，对于序半群S的模糊点aλ和强凸模糊子集 f，有aλ∈f当且仅当 f（a）≥λ。

引理1［9］假设 f是序半群S的强凸模糊子集，则

引理2［11］假设 f是S的模糊子集，则 f是S的强凸模糊子集当且仅当对任意 x，y∈S，x≤y⇒f（x）≥f（y）。

定义2［9］序半群S的序模糊点aλ称为不属于（不拟一致）S的模糊子集 f，记作aλ∈-f（aλq-f），如果 f（a）＜λ（f（a）+λ≤1）。如果aλ∈-f或aλq-f，我们写作aλ∈-∨q-f。

引理3［9］假设aλ，bμ（λ≠0，μ≠0）是序半群S的序模糊点，f，g是S的模糊子集，则下列条件成立：

（1）对于 S的所有序模糊点 aλ，bμ，有aλ∘bμ=（ab）λ∧μ。特别地，aλ∘aλ=（a2）λ；

（2）如果 f，g是 S的模糊理想，那么f∘g，f⋃g是S的模糊理想；

本文未定义的术语可以参考文献［9，14］。

作为aλq-f概念的推广，我们将，定义为：f（a）+λ+k≤1，这里k∈［0，1）。如果或我们写作。本节我们定义在［6］中给出的序半群的）-模糊理想的一个广义形式，并介绍令）-模糊理想，这里除非特殊指明，否则k∈［0，1）。

定理1假设S是一个序半群，f是S的模糊子集，则 f是S的-模糊左理想当且仅当对于，f满足：

反之，假设条件（1）和（2）成立。 令x，y∈S，t∈（0，1］，使得（xy）t∈--f。那么由于 f是S的强凸模糊子集，有 f（xy）＜t。考虑下面两种情况：

情况1：如果 f（xy）≥f（y），那么 f（y）＜t。因此

类似定理1，我们有下面两个定理。

定理2假设S是一个序半群，f是S的模糊子集，则 f是S的）-模糊右理想当且仅当对于∀x，y∈S，f满足：

定理3假设S是一个序半群，f是S的模糊子集，则 f是S的）-模糊理想当且仅当对于∀x，y∈S，f满足：

例1序半群S:=｛a，b，c，d｝，它的乘法运算“·”和序关系“≤”定义如下：

≤:=｛（a，a），（b，b），（b，a），（c，c），（c，a），（c，b），（d，d）｝。

假设 f是S的模糊子集，使得

f（a）=0.2，f（b）=0.3，f（c）=0.4，f（d）=0.2。

定理4假设S是一个序半群，f是S的强凸模糊子集。则 f是S的-模糊理想当且仅当对任意］，

f的水平截集是S的理想。

进一步地，若x≤y，则（f∘g）（x）≥（f∘g）（y）。事实上，如果Ay=∅，那么（f∘g）（y）=0。由 f∘g是S的模糊子集得 （f∘g）（x）≥0=（f∘g）（y）。如果Ay≠∅，那么由x≤y得Ay⊆Ax。因此，

证明 类似于定理5，这里略之。

证明 由定理4和定理5，显然。

定理7假设｛fi|i∈I｝是序半群S的）-模糊理想的集合，则是S的-模糊理想，这里

进一步地，若x≤y，则 f（x）≥f（y）。事实上，由每一个 fi（i∈I）都是S的）-模糊右理想，得。于是，

类似于上面的定理，可以得出下面的结论：

3　序半群的素-模糊理想

例2考虑例1中的序半群，并定义S的模糊子集f如下：

f（a）=0.2，f（b）=0.3，f（c）=0.4，f（d）=0.3。

反之，假设对任意∀x，y∈S，都有

则f （x）＜t，f （y）＜t。

情况1：若t＞1-k，则 f（xy）≤t，即（xy）∈-f。因此，（xy）t∈-∨q--kf。

定理10设S是一个序半群，f是S的强凸模糊子集，则 f是S的素）-模糊理想当且仅当对于任意的］，f的水平截集是S的素理想。

［1］ Rosenfeld A.Fuzzy groups［J］.Journal of MathematicalAnalysis and Applications，1971，35（3）：512-517.

［2］ Bhakat S K，Das P.（∈，∈∨q）-fuzzy subgroup［J］. Fuzzy Sets and Systems，1996，80（3）：359-368.

［3］ Jun Y B，Khan A，Shabir M.Ordered semigroups characterized by their（∈，∈∨q）-fuzzy bi-ideals［J］.Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society，2009，32（3）：391-408.

［4］ Shabir M，Jun Y B，Nawaz Y.Semigroups characterized by（∈，∈∨qk）-fuzzy ideals［J］.Computers& Mathematics with Applications，2010，60（5）：1473-1493.

［5］ Kehayopulu N，Tsingelis M.Fuzzy sets in ordered groupoids［J］.Semigroup Forum，2002，65：128-132.

［6］ Khan A，Jun Y B，Shabir M.A study of generalized fuzzy ideals in ordered semigroups［J］.Neural Computing&Applications，2012，21（1）：S69-S78.

［7］Tang J，Xie X Y.A study on ordered fuzzy points of ordered semigroups［J］.Journal of Information and Computational Science，2012，17（9）：5425-5432.

［8］ Tang J，Xie X Y.On（∈，∈∨qk）-fuzzy ideals of ordered semigroups［J］.Fuzzy Information and Engineering，2013，5（1）：57-67.

［9］ Xie X Y，Tang J.Fuzzy radicals and prime fuzzy ideals of ordered semigroups［J］.Information Sciences，2008，178（22）：4357-4374.

［10］Xie X Y，Tang J.Regular ordered semigroups and intra-regular ordered semigroups in terms of fuzzy subsets［J］.Iranian Journal of Fuzzy Systems，2010，7（2）：121-140.

［11］Xie X Y，Tang J，Yan F.A characterization of prime fuzzy ideals of ordered semigroups［J］.Fuzzy Systems and Mathematics，2008，22（1）：39-44.

［12］Xie X Y，Yan F.Fuzzy ideals extension of ordered semigroups［J］.Lobachevskii Journal of Mathematics，2005，19：29-40.

［13］Kehayopulu N，Tsingelis M.On weakly prime ideals oforderedsemigroups［J］.MathematicaJaponica，1990，35（6）：1051-1056.

［14］谢祥云.序半群引论［M］.北京：科学出版社，2001.

A new generalization of fuzzy ideals in ordered semigroups

YAN Feng

（Department of Education，Luoding Polytechnic，Luoding Guangdong 527200，China）

In this paper，the concept of）-fuzzy ideals of an ordered semigroup S is introduced by the ordered fuzzy points of S，and related properties are investigated.Furthermore，the concept of prime）-fuzzy ideals of ordered semigroups is introduce，and some characterizations of this notion are given.As an application of these results，the corresponding results in ordinary semigroups can be also obtained by moderate modification.

ordered semigroup；strongly convex fuzzy subset；-fuzzy ideal；prime）-fuzzy ideal

O152.7

A

1004-4329（2016）02-007-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）02-007-05

2016-02-27

国家自然科学基金（11361027，11271040）；广东省自然科学基金（2014A030313625）；广东省教育厅重大项目（自然科学类）（2014KZDXM055）；安徽省高等学校自然科学研究重点项目（KJ2015A161）；2015年广东省高等职业教育质量工程项目资助。

颜凤（1980－），女，硕士，讲师，研究方向：模糊代数。