斯仁道尔吉

(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特　010022)



G′/G-展开法的推广及其应用

斯仁道尔吉

(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022)

把G′/G-展开法推广到G满足椭圆方程与Riccati方程的一般情形而给出构造非线性方程精确行波解的新方法并以KdV方程为例实现了该方法.该方法还可用来求解其它的非线性方程.

G′/G-展开法；椭圆方程；Riccati方程

众所周知,扩展的tanh-函数法[1]、F-展开法[2]、G′/G-展开法[3]、辅助方程法[4]、推广的辅助方程法[5]、exp(-φ(ξ))方法[6]等都是借助某个辅助方程(组)解的展开式来求解非线性方程.例如，G′/G-展开法中函数G满足二阶线性方程

(1)

由于解的形式受到限制，不能求得非线性方程的更多类型的精确解.能否把函数G所满足的辅助方程(1)换成别的方程而建立非线性方程的多种类型的精确解呢？基于这种考虑,本文提出了把函数G所满足的辅助方程(1)换成椭圆方程和Riccati方程而求解非线性方程精确解的新方法，并以KdV方程

(2)

为例说明该方法的实现过程.

1　椭圆函数解

对KdV方程作变换u(x,t)=u(ξ),ξ=x+ωt后积分两次并置积分常数为零，则得到

(3)

令方程(3)中的u″项与3u2项相互抵消可得领头项的幂次n=2,于是可置

(4)

其中A0,A1,A2及ω为待定常数,Riccati椭圆函数w=sn(ξ,m)满足方程

(5)

这里m(0

将(4)式代入(3)式并经恒等变换cn2(ξ,m)=1-sn2(ξ,m),dn2(ξ,m)=1-m2sn2(ξ,m)以及导数关系式

变换方程后取cni(ξ,m)dni(ξ,m)snj(ξ,m)(i=0,1;j=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4)的系数为零,则得到如下关于A0,A1,A2,m,ω的代数方程组

6A1A2+2A1=0,

6m2A1A2+2m2A1=0,

-6m2A1A2+ωA1+6A0A1-6A1A2=0,

用Maple求解此方程组,则得如下四组解

(6)

(7)

(8)

(9)

将(6)～(9)式同ξ=x+wt一起代入(4)式得到KdV方程的椭圆函数解

(10)

(11)

(12)

u4(x,t)=23(m4+14m2+1+m2+1)-

(13)

这里用了等式dn2(x,m)+m2sn2(x,m)=1以及sn(x,0)=sinx,cn(x,0)=cosx.显然,解(10),(11)和(12),(13)分别表示左行波与……