惠远先，王俊杰

(普洱学院数学系， 云南　普洱　665000)



一类广义Emden-Fowler阻尼方程的振动准则

惠远先，王俊杰

(普洱学院数学系， 云南普洱665000)

文章研究一类广义Emden-Fowler阻尼方程的振动性质，利用广义Riccati变换和积分平均技巧，建立了保证方程一切解振动或者收敛到零的若干新的充分条件.所得结论推广和改进了最近文献中的若干结果.

广义Emden-Fowler阻尼方程；广义Riccati变换；振动准则

微分方程解的振动性是微分方程解的重要性态之一，它在很多领域具有广泛的应用.本文考虑一类广义Emden-Fowler方程：

(E)

其中 ：

Z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),r(t)∈C1([t0,∞),R),p(t),τ(t),g(t)∈C[t0,∞)，α,β

是两个常数.本文假设下面条件成立.

(H1)α>0,β>0；

(H2)0≤p(t)≤1,q(t)≥0,g(t)≥0；

方程(E)的一个非平凡解是振动的，如果它有任意大的零点.否则为非振动的.如果方程(E)的一切解都是振动的则称该方程是振动的.近年来，关于动力学方程的振动性与非振动性的研究引起了学者们的广泛兴趣，出现了大量优秀研究成果[1-9].2006年，MENG[3]给出了方程

的振动结果.2012年,LIU[9]给出了方程

(E1)

在α≥β>0情形下的振动准则.

由于方程(E1)没有阻尼项，且受条件α≥β>0限制，该文所得的振动结果具有很大局限性.本文利用广义Riccati变换和积分平均技巧，将文献[9]的相关结论由非阻尼方程(E1)推广到阻尼方程(E)的情形，而且将条件α≥β>0推广到α>0，β>0的一般情形.

1　引理

引理1设x(t) 是广义的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最终正解，则相应Z(t)只有下面两种情况：

Z′(t)]′≤0；

证明设x(t) 是广义的Emden-Fowler阻尼方程(E)的最终正解，由Z(t)的表达式得到Z(t)≥x(t)>0.由方程的(E)得到两种可能：Z′(t)>0 或Z′(t)<0.

(Ⅰ)设Z′(t)>0，由方程(E)可以得到：

(Ⅱ)设Z′(t)<0，由方程(E)可以得到：

由条件(H2)和Z′(t)<0可以得到两种可能：

对上式从t1到t积分，可以得到：

让t→∞，利用(H3)得到Z(t)→-∞.这与Z(t)>0矛盾.

引理2[4]设存在……