任刚练

(咸阳师范学院 数学与信息科学学院, 陕西 咸阳　712000)



【数理科学·数论专栏研究】

关于一类特殊二次高斯和的四次均值

任刚练

(咸阳师范学院 数学与信息科学学院, 陕西 咸阳712000)

该文利用解析方法及三角和的性质，研究了一类特殊二次高斯和的四次均值的计算问题,并得到了一个精确计算公式。

特殊二次高斯和;四次均值; 解析方法;计算公式

设q≥3是一个正整数,对于任意的整数m,经典二次高斯和G(m,χ;q)定义为:

其中,e(y)=e2πiy,χ是模q的Dirichlet特征。

很多学者都对G(m,χ;q)的性质进行过研究，并且得到了一系列重要结果[1-7]。例如,G.I.Perel′muter[5]证明了下面的结论:设p是奇素数,R1(x)和R2(x)是模p的有理函数,χ是模p的任意非主特征,并且满足χ(R1(a))和χ(R2(a))中至少有一个不为常数。那么有估计式

T.Cochrane和郑志勇[2]得到了

这里,w(q)表示q的所有不同素因子的个数。

张文鹏和韩迪[8]研究了二项指数和的六次均值问题,证明了

对任意的素数p>3且(3,p-1)=1,有

另一方面,如果q=p是奇素数,A.Weil(参阅D.A.Burgess[1])得到了下面的重要结论:

设χ是模p的q阶特征,如果f(x)不是模p的完全q次方,那么有估计

和

(1)

这里,A≪B表示存在某一常数c，使得|A|

当然，式(1)中的估计是最好的。事实上,张文鹏和易媛[6]找到了形如f(x)=(x-r)m(x-s)n的多项式,使得

这里,(r-s,q)=1,m,n和χ满足一些特殊条件。

本文考虑一类特殊二次高斯和的2k次均值

(2)

这里,p是奇素数,k≥2,m和n是整数,且(m,p)=1。

我们考虑式(2)是否存在一个精确的计算公式或渐近公式?对于这一问题,至今似乎没有人研究过,至少现在我们还没有见过相关结论。由于该问题和经典二次高斯和有密切的联系,因此对该问题进行研究是非常有意义的。本……