吴振刚

(西北大学 数学学院, 陕西 西安　710127)



【数理科学·数论专栏研究】

包含广义Fibonacci数列倒数积的恒等式

吴振刚

(西北大学 数学学院, 陕西 西安710127)

Fibonacci数列; 不等式; 倒数积; 恒等式; 取整函数

但是想要计算出s取奇数时的精确值是相当困难的,对此类问题的研究主要是判断其是否为无理数。1978年,法国数学家RogerApery证明了ζ(3)是无理数。2000年,TanguyRivoal证明了存在无限多个ζ(2n+1)均为无理数。2001年,WadimZudilin证明了ζ(3)，ζ(5)，ζ(7)，ζ(9)和ζ(11)中至少有一个为无理数。

对RiemannZeta函数作一替换可得到Fibonaccizeta函数与Lucaszeta函数

其中Fn与Ln表示Fibonacci数列及Lucas数列。为了研究ζF(s)和ζL(s)的均值问题,2008年,Ohtsuka和Nakamura[4]得到了关于Fibonacci数列倒数的无穷和的取整公式:

近年来,多位学者对上式进行了多种形式的推广,例如吴振刚[5]将Fibonacci数列推广为m阶线性递推序列;徐哲峰[6]将倒数和的次数推广为3次。

2016年,林馨[7]将倒数和取整问题中的线性递推序列换为正整数序列,给出了RiemannZeta-函数中s取2和3时的取整公式:

定理1对任意整数n≥2及m≥1,

定理2对任意整数n≥2,

1　若干引理

引理1对任意整数n≥2及m≥1,

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

证 明我们只证明式(1)和式(3),其他等式可采用类似的方法得到。首先证明式(1),注意到关于广义Fibonacci数列和广义Lucas数列的恒等式:

LmLn=Lm+n+(-1)nLm-n,

FmLn=Fm+n+(-1)nFm-n=

Fm+n-(-1)nFn-m。

对任意整数n≥2及m≥1,有

(Fmn-1)(Fmn-Fmn-m)(Fmn+m-Fmn-1)-

Fmn(Fmn+m-Fmn)(Fmn-Fmn-m-1)=

Fmn+Fmn-mFmn+m-Fmn-mFmn-

Fmn-Fmn-m≥Fmn-Fmn-m-

(αmn-αmn-m-α2m-βmn+βmn-m-β2m)=

(-1)mn+(-1)mn-mαm-αmn-2m)>0。

式(1)证毕。对任意整数m≥1及偶数n≥2,式(3)等价于

当n为偶数且n≥2时,上式显然成立，式(3)证毕。

引理2对任意整数n≥1,

(7)

(8)

证 明 式(7)等价于

n3((n+1)2+n2)(n2+(n-1)2-1)≤

(n3-1)(n2+(n-1)2)((n+1)2+n2-1),

n3(n+1)2-n3(n-1)2-n2(n+1)2-

n4+n2-(n-1)2(n+1)2-

n2(n-1)2+(n-1)2≥0,

即为n2-n≥0,对任意整数n≥1显然成立。

式(8)等价于

n3((n+1)2+n2+1)(n2+(n-1)2)>

(n3-1)(n2+(n-1)2+1)((n+1)2+n2),

n3((n-1)2-(n+1)2)+(2n2+1+

2n)(2n2+1-2n)>0,

对任意整数n≥1显然成立。

2　定理的证明

定理1问题1)的证明根据式(1)可知

根据式(2)可知

因此

故有

定理1问题1)证毕。

定理1问题2)的证明当n为偶数时,根据式(3)可知

根据式(4)可知

因此