李志鹏,　水树良

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华　321004)



一类三次微分系统的分段光滑扰动

李志鹏,水树良

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华321004)

考虑了一类具有二次不变曲线的平面三次微分系统在分段三次多项式扰动下的极限环个数问题.利用一阶Melnikov函数,证明了从该系统的周期环域可以分支出8个极限环.结果表明:分段三次多项式扰动此类三次微分系统比其相应的三次多项式扰动可多产生4个极限环.

极限环;不变曲线;一阶Melnikov函数；分段光滑系统

0　引　言

众所周知,Hilbert第16问题的后半部分是非常困难的公开问题,即便是Arnold给出的弱化形式也只解决了一些特殊情形[1].近年来,人们考虑如下形式的平面系统:

(1)

系统(1)中:ε是小参数;P(x,y),Q(x,y)是n次多项式;C(x,y)是m次多项式且C(0,0)≠0.当ε=0时,C(x,y)=0是系统(1)的不变代数曲线.在区域Ω={(x,y) |C(x,y)≠0}内,系统(1)的等价系统为近Hamilton系统

(2)

当ε=0时,系统(2)有一族闭轨Lh={(x,y) |H(x,y)=x2+y2=h},h∈(0,+∞).

最近,对于光滑系统(1)的分支现象研究得比较多,但对于分段光滑微分系统

(3)

的研究少见报道.文献[7]利用一阶平均理论,给出了“当C(x,y)=1+x时,系统(3)有5个极限环”的结论,比相应的光滑微分系统多分支出3个极限环.本文利用一阶Melnikov函数,研究了当C(x,y)=(1-x)2时系统(3)的极限环个数问题.

考虑如下分段光滑三次微分系统:

(4)

系统(4)中:

易知未扰系统(4)在x>0和x≤0时具有相同的首次积分H(x,y)=x2+y2.

本文的主要目标是计算从未扰系统(4)|ε=0原点的周期环域分支出极限环的个数.所用的方法是文献[8]中介绍的一阶Melnikov函数.

定理1当|ε|>0充分小时,系统(4……