◇　北京　齐龙新(特级教师)

(作者单位：北京市育英学校)



不等式证明中的5种新观点

◇北京齐龙新(特级教师)

不等式证明的常规方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法、几何法、函数法、向量法等等,但是即使了解这些常规方法,解题中也常常感觉无从下手.随着课程改革的深入,知识面的扩展,证明不等式问题还应有新的观点.本文介绍5个证明不等式问题的新观点,供同学们参考.

1　模型观点

模型识别能起到定向训练的作用,可以训练我们在遇到新问题时善于识别问题的特征,准确地将其归纳为某种数学模型, 从而尽快地明确解题思路, 选择解题方向.

证明

[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]·

所以

2　凑“等”观点

上面3式相加得

16+13(x+y+z)+3=32,

3　“黄金不等式”观点

在近年各地高考试卷中,对函数y=ex和y=lnx的考察是常考常新,其中关于不等式的证明更是考察的重点和难点.这类题目命制根源常常是以下几个不等式:

1) ∀x∈R,有ex≥1+x,当且仅当x=0时等号成立;

2) ∀x∈R,有ex≥ex，当且仅当x=1时等号成立;

3) ∀x∈R*,有lnx≤x-1;

4) ∀x∈R*,有lnx≤x/e.

上述不等式的几何意义如图1、2所示,利用导数可以轻易证出.

图1　　　　　　　　　图2

若能记住上述几个放缩公式,可以快速突破不等式证明的难点.故笔者把它们都称为“黄金”不等式.

(1) 求a、b;

(2) 证明f(x)>1.

①

当且仅当x=1时等号成立.

4　定积分观点

图3

由此可以得到n个不等式:

所以

5　概率观点

把不等式中出现的参数看成随机事件的概率,这样就能把不等式的证明问题转化为概率论中随机事件的关系问题.这使得不等式的证明变得简单、清晰,同时使得不等式……