李 尧 龙

(渭南师范学院 商学院，陕西 渭南 714099)



【自然科学基础理论研究】

闭正则模糊拟阵的一类基交换性质

李 尧 龙

(渭南师范学院 商学院，陕西 渭南 714099)

研究了闭正则模糊拟阵的一类基交换性质，得到了闭正则模糊拟阵的基交换性质的一些刻画。研究了闭正则模糊拟阵的限制、对偶和并等基有序性质，得到了闭正则模糊拟阵的基公理的等价刻画，举例说明了此类闭正则模糊拟阵的基交换性质。

模糊拟阵；闭正则模糊拟阵；基交换性质

0　引言

1988年,Goetschel和Voxman提出了模糊拟阵理论。此后，他们定义了模糊拟阵的秩函数、模糊拟阵的基和极小圈等概念，研究了模糊拟阵的对偶、和与积等结构，得到了模糊拟阵的贪心算法等许多深刻的性质[1-4]，从而初步建立了模糊拟阵的理论体系。我国学者也在模糊拟阵方面有深入研究[5-10]。我们知道，在一般的矩阵理论和拟阵理论研究中，基及其性质对刻画矩阵和拟阵有十分重要的作用，并且矩阵和拟阵的许多基础性质也都是由基来刻画的，另外拟阵也可以用基集来等价地定义。在模糊拟阵的研究过程中，闭正则模糊拟阵是一类很重要的模糊拟阵，有着非常好的性质，如任意闭正则模糊拟阵的基的基数相等，并且用闭正则模糊拟阵来刻画贪心算法。本文结合文献[7]得到了闭正则模糊拟阵的一类基交换性质，得到了闭正则模糊拟阵的基交换性质的若干刻画。研究了闭正则模糊拟阵的基有序性质，并举例说明了闭正则模糊拟阵基交换性质。这些结果丰富了模糊拟阵的性质。

1　预备知识

定义1[11]设E是有限集，I为E的非空子集族，它满足如下条件：

(1)A∈I且B⊆A,则B∈I，

(2)A,B∈I且|A|< |B|(|A|表示A的势)，则有C∈I使得A⊂C⊆A∪B，

则称偶对M=(E,I)为E上的一个拟阵，I中的元素称为M的独立集，M的极大独立集称为M的基，M的所有基的集合记为β(M)。

设E是有限集,μ:E→[0,1]是一映射,则称μ为E上的一个模糊集。用F(E)表示E上的所有模糊集组成的集族。

定义2[1]设E是有限集，I⊆F(E)为E上的非空模糊子集族，它满足如下条件：

(1)∀μ∈I,ν∈F(E)，若ν<μ,则ν∈I，

则称偶对M=(E,I)为E上的一个模糊拟阵，M中的元素称为M的模糊独立集，M的极大模糊独立集称为M的模糊基，M的所有模糊基的集合记为β(M)。

定理1设M=(E,I)是一个模糊拟阵,则有有限序列 0=r0

(1) 当0rn时,Is=∅，

(2) ∀s,t∈(ri-1,ri],有 Is=It(i=1,2,…,n)，

(3) 若0≤s≤t≤1,则It⊆Is，

(4) 若ri-1

称0=r0

本文沿用文献[1-4,7]的术语和记号,未加说明或定义的概念,请参阅文献[1-4,7]。

2　闭正则模糊拟阵的基交换性质

基交换性质是拟阵理论中很重要的性质之一，许多深刻的结论都由基交换性质得到。在模糊拟阵的研究中,关于闭正则模糊拟阵,有如下的基交换定理。

定义3设M=(E,I)为闭正则模糊拟阵,μ为M的基，ξ,ξ′为两个模糊集。若ξ≤μ且(μζ)∨ξ′为M的基，则称序对ξ,ξ′为一个μ-交换。

推论1设M=(E,I)是一闭正则模糊拟阵,μ,μ′为M的基，ξ,ξ′为两个模糊集。设ξ,ξ′为μ-交换，ξ′,ξ为μ′-交换，则ξ,ξ′可表示为

令

由文献[4]定理 2.4,(E,I)是一个模糊拟阵。

由I的定义知(E,I)的基为

由于(E,I)是闭的且所有基的基数相等,所以(E,I)是闭正则模糊拟阵。对于(E,I)中任意的基μ，(E,I)都满足μ-交换。

3　闭正则模糊拟阵的基有序性质

基有序性质是拟阵理论中一个很有趣的性质,不是所有的拟阵都满足基有序性质[12-13]。以下在闭正则模糊拟阵中研究基有序性质。

定理5设M=(E,I)是一基有序的闭正则模糊拟阵,T⊂E。若M|T=(E,I|r)是闭正则模糊拟阵，则M|T是基有序的。

证明设ξ,ξ′为M|T的两个基，则存在M的两个基μ,μ′使得μ|T=ξ,μ′|T=ξ′，由M是基有序的，则存在π∶μ→μ′为μ与μ′的交换序。显然π|T∶ξ→ξ′为π在T上的约束，当然也是ξ，ξ′的一个交换序。故M|T是基有序的。

定理6设M=(E,I)是一闭正则模糊拟阵，M*=(E,I*)为其对偶模糊拟阵。若M是基有序的，则对偶模糊拟阵M*是基有序的。

则π*是μ1,μ2的一个交换序。

定理7设M1=(E,I1)与M2=(E,I2)是闭正则模糊拟阵,若M1,M2是基有序的，则M1与M2的并是基有序的。

证明(分两种情况证明)设M是M1与M2的并。

(1)若M没有反环

(2)若M有反环

则易知π是μ1,μ2的一个交换序。

以下给出基交换性质的一个例子。

令I=↓Β={μ∈F(E)|μ≤ν，ν∈Β}。容易验证,Β={μi|i=1,2,…,12}为(E,I)中的基集族,故(E,I)为模糊拟阵。又∀μi∈Β,|μi|=|μj|(i≠j)，故(E,I)为闭正则模糊拟阵。容易验证(E,I)是满足μi-交换的(i=1,2,…，m)。由定理7，其对偶拟阵也是基有序的。

注1基有序性质是拟阵理论中一类基交换性质。但是满足基有序性质的拟阵要求比较苛刻,许多拟阵并不满足基有序性质。在闭正则模糊拟阵中,我们研究了闭正则模糊拟阵的一类子拟阵,对偶拟阵和两个基有序模糊拟阵的和是基有序的。之所以能够得到这样好的结果,关键在于模糊拟阵的闭正则性。

注2在闭正则模糊拟阵中,基有序拟阵的子拟阵未必是基有序的,因为一个闭正则模糊拟阵的子拟阵未必是闭正则的,而一般的模糊拟阵可能没有基,更谈不上基有序性质。

[1]R.Goetschel,W.Voxman.Fuzzymatroids[J].Fuzzysetsandsystems,1988,(27):291-302.

[2]R.Goetschel,W.Voxman.Baseoffuzzymatroids[J].Fuzzysetsandsystems,1989,(31):253-261.

[3]R.Goetschel,W.Voxman.Fuzzycircuits[J].Fuzzysetsandsystems,1989,(32):35-43.

[4]R.Goetschel,W.Voxman.Fuzzymatroidstructures[J].Fuzzysetsandsystems,1991,(41):343-357.

[5] 吴德垠.闭正规模糊拟阵的模糊基集特征[J].重庆大学学报，1996，19(3)：30-35.

[6] 李尧龙.偏序集广义拟阵的闭包公理[J].东北师范大学学报，2008，41(1)：16-19.

[7]Yao-LongLi,Guo-JunZhang,Ling-XiaLu.Axiomsforbasesofclosedregularfuzzymatroids[J].Fuzzysetsandsystems,2010,161(12):1711-1725.

[8] 李尧龙.推广的模糊横贯理论[J].模糊系统与数学，2015，(1)：65-70.

[9] 刘桂真，陈庆华.拟阵[M].长沙：国防科技大学出版社，2004.

[10] 陈娟娟，吴德垠，夏军.准模糊图拟阵的子拟阵[J].西南大学学报(自然科学版)，2014，(8):5-9.

[11] 李尧龙.模糊横贯的若干性质[J].西南师范大学学报(自然科学版)，2013,38(9)：8-12.

[12] J.Oxley.Matroid Theory[M].New York:Oxford University Press,1992.

[13] 赖虹建.拟阵论[M].北京：高等教育出版社，2002.

【责任编辑牛怀岗】

Some Properties on Basis Exchange Axioms of Closed Regular Fuzzy Matroids

LI Yao-long

(School of Business,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

The basis exchange axioms of some closed regular fuzzy matroids are introduced. Some properties of basis exchange axioms of closed regular fuzzy matroid are studied. Characteristic theorems of basis exchange axioms of closed regular fuzzy matroids are presented. Finally,examples of basis exchange axioms are presented.

fuzzy matroid; closed regular fuzzy matroid; basis exchange axioms

O157.1

A

1009-5128(2016)12-0009-05

2016-03-14

陕西省自然科学基础研究计划项目：拟阵的模糊化与模糊拟阵的优化算法研究(2014JM1026)；渭南师范学院特色学科建设项目：数学方法在秦东经济社会发展中的应用(14TSXK02)；渭南师范学院科研基金项目：模糊拟阵与偏序集拟阵中若干问题的研究(13YKS005)

李尧龙(1970—),男,陕西渭南人,渭南师范学院商学院教授,理学博士，主要从事模糊拟阵理论研究。