王兴良

摘 要： 为使学生更好地理解微积分基本定理，作者采用发现式教学法并结合数学史相关内容，按照观察、得到结论、猜想、历史溯源、微积分基本定理的表述、微积分基本定理意义、微积分基本定理应用等七个方面讲述，以期达到教学的趣味性、直观性、自然性、合理性、通俗性、有效性、深刻性的结合与统一.

关键词： 微积分基本定理 数学史 发现式教学法

定积分作为一种和式的极限按照极限计算的方法求值是十分困难的.即使对于最简单的函数，按照定积分定义计算和式极限也是困难和复杂的，因此必须找到计算定积分和式极限的一般方法.在17世纪后期，两位天才的数学家牛顿和莱布尼兹分别找到了计算方法——微积分基本定理.正是由于微积分基本定理的发现，才诞生了对近代社会产生巨大影响的微积分.

教学中可通过两个特殊的例子，引导学生猜想.

一、观察

1669年，牛顿在他的朋友中散发了题为《运用无穷多项方程的分析学》的小册子.其中，牛顿不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且证明了面积可以由变化率的逆过程得到.因为面积也是用无穷小面积的和来表示从而获得的，所以牛顿证明了这样的和能由求变化率的逆过程得到，这个事实就是我们现在所讲的微积分基本定理.在1675年11月的一篇手稿中，莱布尼兹已深刻认识到？蘩与d的互逆关系，在笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆.实际上已初步给出了微积分基本定理，在1686年莱布尼兹在《博学学报》上发表了微积分历史上第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，论述了积分与微分的互逆关系.

五、微积分基本定理的表述

微积分的基本定理是牛顿、莱布尼兹发现的，但都没有给出严格的证明.事实上在当时的历史条件下，也不可能给出严格的证明.关于微积分基本定理的严格证明及表述直到一百多年后，才由柯西（Augustin Lonis Cauchy ， 1789—1857）完成.数学知识的形成与发展是一种渐进累积但不是线性发展的过程.

六、微积分基本定理的应用

牛顿-莱布尼茨公式给出了计算定积分无穷和的一般方法，对某些无穷和的极限也可考虑将其转换为积分和，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算.由于定积分计算转化为了不定积分运算，不定积分的运算法则也可转换为相应的定积分运算法则.但在应用微积分基本定理时要特别注意适用条件——被积函数在积分区间上连续.

七、结语

高等数学的教学改革无论是在理论层面还是在实践层面都有许多问题没有解决.本文对微积分基本定理的教学做了一些教学探索，希望对广大教师有所启迪.

参考文献：

[1]杜瑞芝.数学史辞典[M].山东：山东教育出版社，2000.