王　琪

(贵阳学院 数学与信息科学学院，贵州 贵阳 550005)



双曲空间中全脐超曲面与高斯映照像

王琪

(贵阳学院 数学与信息科学学院，贵州 贵阳 550005)

设Mn是单位双曲空间形式Hn+1中定向的紧致无边超曲面.假设存在整数r(1≤r≤n-1)使得高阶平均曲率Hi>0,i=1,2,…,r,且Hr是常数.证明了：如果Mn的高斯映照像包含在一个开半球面内,则Mn全脐.

单位双曲空间形式；全脐超曲面；高斯映照像；常数高阶平均曲率

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2016,43(5):537-538,549

0　引　言

黎曼空间形式中超曲面的刚性问题，是黎曼几何学中最重要和最有意思的问题之一.

具有常数截面曲率的完备连通黎曼流形，即黎曼空间形式.就维数(n+1)而言，在微分同胚意义下，黎曼空间形式的代表有:欧氏空间Rn+1，有常数截面曲率K≡0;单位球面空间形式Sn+1，有常数截面曲率K≡1;单位双曲空间形式Hn+1，有常数截面曲率K≡-1.

BIVENS[1]对Hn+1中定向的紧致无边超曲面的刚性给出了如下的定理1.

定理1(文献[1]定理1)设Mn是Hn+1中定向的紧致无边超曲面.如果存在某个整数r(1≤r≤n-1)使得高阶平均曲率Hr，Hr+1均为非零常数，则Mn全脐.

1998年KOH[2]利用文献[1]的积分公式， 改进了定理1的曲率条件，给出了如下定理：

事实上，在外围空间为Rn+1和Sn+1的情况下，定理1和定理2也成立.定理1和定理2成为用高阶平均曲率来刻画超曲面的全脐性的经典结果.笔者注意到，定理1和定理2 的曲率条件，同时涉及2个高阶平均曲率.

ALENCAR等[3]研究了单位球面空间Sn+1中定向的紧致无边超曲面，得到了定理 3.定理3的曲率条件只涉及一个常数高阶平均曲率，但同时涉及超曲面的高斯映照像.

定理……