刘桂辛

（河北前进机械厂 河北 石家庄　050035）

改进的自适应卡尔曼滤波算法

刘桂辛

（河北前进机械厂 河北 石家庄050035）

为了消弱由测量噪声的变化对导航估计的影响，本文提出了一种自适应滤波法。该算法利用阈值自动选择开窗窗口的长度调节自适应因子，以此调整扩展卡尔曼滤波法（EKF）与无迹卡尔曼滤波法（UKF）中的滤波增益，进而合理利用测量信息，由此分别形成AEKF与AUKF算法。将两种方法分别应用于全球导航系统（GPS）和航位推算（DR）紧组合导航系统中，仿真结果证明了与UKF相比，可以有效地避免滤波发散。

卡尔曼滤波；GPS/DR组合导航；自适应滤波；AEKF；AUKF

在室外作业时，利用导航系统可以实现监控中心对运载车的工作状态进行干预的目的。现今，国内外设计者青睐于将GPS与DR定位方法结合，能互补长短，有效解决定位的连续性问题。

Kalman滤波法［1］可用于设计运载体的高精度组合导航系统。在实际工程利用中，系统模型大部分是非线性，并且由于环境的改变，模型的观测噪声可能会发生很大变化，使噪声的统计特征不再准确，影响定位精度甚至使滤波发散。EKF［2-3］和UKF［4］算法是解决非线性系统估计的有效方法，但在模型准确和加性噪声的统计特征明确时其估计结果才可靠、精准，不能完全满足实际工程的需要。

为了解决这一问题，国内外专家提出了自适应滤波算法。在最为常用的方法中，相比较而言，最小均方（LMS）自适应算法［5］收敛速度慢，递归最小二乘（RLS）算法［6-7］鲁棒性较差。文中提出的算法利用阈值自动选择开窗窗口的长度调节自适应因子，以此调整EKF与UKF算法中的滤波增益，进而合理利用测量信息，由此分别形成AEKF与AUKF算法。这种方法的优点是判定效率比较高，能快速收敛，适合实时滤波，并且在测量噪声的统计特性不明确的情况下有效避免滤波发散，使估计值平稳、精确。

1　GPS/DR组合导航系统模型与建模

根据车载导航系统对导航的精度和连续性的要求，并且结合以上耦合方式的特点，本文选择研究GPS/DR组合导航系统的紧组合方式。GPS/DR紧组合系统的结构框图如图1所示。

图1　GPS/DR紧组合结构框图Fig．1　GPS/DR tight combination structure

2　改进的自适应卡尔曼滤波算法

在自适应扩展卡尔曼滤波（AEKF）算法中，定义新息Ck：

这里应用新息的相关矩阵作为当环境噪声发生改变时，测量噪声的统计特征不明确的情况下的新的量测值。当Rk减小时，减小。反之，当Rk增大时，增大。最终这种关系被应用在AEKF算法中。

在自适应无迹卡尔曼滤波（AUKF）算法中，定义新息Ck为：

式中:M为自适应窗口。

定义d为测量残余价值量，由Ck与相关矩阵的逆矩阵得到d。计算公式：

d值用来调节自适应窗口M的长度。判定如下：

式中：μmin和μmax为判定门限。一般由经验给出，μmin=0，μmax=1；η为窗口M的收敛速率，取η＜1的任意有理小数。

显然自适应窗口长度最大为k，最小为1。即当d＞1时，环境噪声的统计特性不明确，测量值不能正确得到状态的估计值，应取最小的新息矩阵，M=1，最小；当d＜0时环境噪声的统计特性明确，测量值能正确得到状态的估计值，当取最大的新息矩阵，M=k，最大；当0＜d＜1时，这个创新的序列M= k×ηd-μmin，取适当值，从而使取值适当。

在此，可将此自适应算法与RLS算法中的遗忘因子λ的意义联系起来。最终，增益矩阵Kk由自适应因子bk调节

本算法所得到的自适应因子bk的作用是：随着噪声大小的改变，使测量噪声的统计特征Rk的变化对增益Kk的影响减到最小，从而使估计值达到最佳。更能敏感地反应当前时刻观测量的动力学模型的误差现状。

通过以上算式，介绍了自适应过程，其先通过调整窗口长度，再调节自适应因子。这种方法的优点是判定效率比较高，能快速收敛，适合实时滤波，并且在测量噪声的统计特性不明确的情况下有效避免滤波发散，使估计值平稳、精确。其缺点是当实时滤波环境下测量噪声的改变对滤波增益产生较大的影响，当减小这种影响是以牺牲精度或是收敛速率为代价的，即输出的状态误差较大或是滤波算法所用的时间较长。AEKF算法分析结构图如图2所示。

图2　AEKF算法分析结构图Fig．2　Analysis structure graph of AEKF algorithm

3　MATLAB仿真分析

根据地面车辆的运动情况，设定运载车的初始位置坐标为（0，0），初始速度为（10，10），初始加速度为（0，0）。初始化X0=［0；10；0；0；10；0］，P0=diag（［100，1，0．01，100，1，0．01］），过程噪声均方误差为，测量噪声均方误差为σe=12 m，σn=12 m，σω=0．001 rad/s，σs=0．7 m。滤波周期T=1 s。

取滤波采样时间N=300 s。假定在初始1～100 s时，测量噪声Vk的大小为随机高斯白噪声。随着时间的推移，由于环境噪声的变化，在101～200 s时，测量噪声Vk为1．5Vk，在201～300 s时，测量噪声Vk为0．5Vk。此时，在此条件下，用MATLAB软件分别用UKF、EKF、AEKF、AUKF算法进行仿真。

由于处理的是随机过程，每次得到的程序运行结果是不一定的，但是不会有很大差距。因此本实验取了5次运行结果的平均值进行比较，结果如表1所示。

由实验数据可得，虽然，算法对AEKF和AUKF的运行时间影响各异。但是，无论是快是慢，差距都不大。在短时间（300 s）的自适应调整时，并没有超出实时性的有效范围。这有力证明了AUKF和AEKF算法适合于GPS/DR车载组合导航系统在车辆定位和导航中的应用，满足实时性的要求。

表1　4种算法基于时间的比较Tab.1　Four methods of time comparison

取采样时间N=3 000 s。假定在初始1～1 000 s时，测量噪声Vk的大小为随机高斯白噪声。随着时间的推移，由于环境的变化，在1 001～2 000 s时，测量噪声Vk变化为1．5Vk，在2 001～3 000 s时，测量噪声Vk变化为0．5Vk。

UKF算法经运行，已经滤波发散，直接结果是程序不能运行。分析其原因是滤波均方误差Pk失去正定性，而导致的滤波发散。而EKF、AEKF和AUKF算法仍能进行估计。可见，使用自适应调节改善UKF算法的滤波性能。在环境噪声改变的情况下，可以长时间进行估计时，而不使滤波发散。最后得到3种算法经过仿真的东、北向位置和速度参数误差的比较图如图3～6所示。

图3　AEKF、EKF和AUKF算法的东向位置误差比较Fig．3　East position estimation error comparison of AEKF、AUKF and EKF

图4　AEKF、EKF和AUKF算法的北向位置误差比较Fig．4　North position estimation error comparison of AEKF、AUKF and EKF

由图3和图4的3种算法的东、北向位置误差比较仿真直观图所示，在噪声较大（1 001～2 000 s）时，AEKF算法比EKF算法表现出的误差较小。而AUKF算法虽然没有发散，但是误差较大。噪声较小（2 001～3 000 s）时，AUKF算法在北向的位置误差随着时间的增长而逐渐偏移。而AEKF和EKF得到的误差结果不相上下。这说明虽然自适应算法增长了UKF算法滤波发散的时间，但是随着时间的增长，其对精度的提高没有AEKF算法效果好。

由图5和图6的3种算法的东、北向速度误差比较仿真直观图所示，在噪声较大（1 001～2 000 s）时，AEKF比EKF算法出现的较大的误差次数较少。而AUKF算法虽然没有发散，但是误差较大。在噪声较小（2 001～3 000 s）时，AUKF算法表现出的误差较大，而AEKF和EKF算法表现出的误差不相上下。

图5　AEKF、EKF和AUKF算法的东向速度误差比较Fig．5　East velocity estimation error comparison of AEKF、AUKF and EKF

图6　AEKF、EKF和AUKF算法的北向速度误差比较Fig．6　North velocity estimation error comparison of AEKF、AUKF and EKF

综合以上结果，采样时间（3 000 s）与采样短时间（300 s）的滤波结果进行比较可得。相同的是，在噪声较大的情况下，都表明AEKF和AUKF算法具有较好的滤波效果。而UKF和EKF算法在噪声较小的时候体现了较好的滤波效果。不同的是，经自适应改进的AUKF算法有效的解决了UKF算法在长时间估计计算时出现的滤波发散问题。而AEKF算法比EKF算法在导航的总体参数方面也提高了精度和滤波的平稳度。

这些由数据结果客观表明。得到的AEKF、AUKF和EKF算法均方误差和平均误差数据如表2和表3所示。

表2　AEKF、AUKF和EKF算法平均误差数据Tab.2　Average error value comparison of AEKF、AUKF and EKF

由表2中数据可知，因为UKF算法已经发散，而AUKF算法有明显的自适应性，仍能进行滤波，可以说是最主要的优点。但与EKF算法相比，其只在东向速度的平均误差方面有所改进，对其余参数的估计精度均有所下将。而AEKF算法所得数据与EKF算法相比，除东向位置平均误差外，均有很大提高。说明经自适应改进的算法，在噪声环境变化的情况下，提高了估计精度。然而采样时间长（3 000 s）时，自适应算法的收敛速度也减慢，这是在工程应用中应该考虑的因素。

由表3中的数据可知，经对比AEKF和EKF算法的东、北向位置平均误差所得，AEKF算法减小了均方误差，这说明AEKF算法改善了对估计位置的滤波的性能。但是在对东、北向位置的均方误差均没有改善。这验证了减小滤波波动要以牺牲精度为代价的观点。而AUKF算法相对于EKF和AEKF算法而言，其均方误差的输出北向位置均方误差外，其余参数都有所增大，这说明AUKF算法在长时间（3 000 s）时，虽然能解决滤波发散问题，但缺乏对滤波的性能方面的完善。

表3　AEKF、AUKF和EKF算法均方误差数据Tab.3　Mean square error value comparison of AEKF、AUKF and EKF

4　结　论

本文着重研究了GPS/DR车载组合导航系统中环境噪声大小的改变对滤波估计的影响，并针对这一问题加以自适应改进。

通过EKF和UKF算法的自适应改进，利用新息的相关矩阵和估计矩阵的迹对自适应因子进行求值，从而调节增益矩阵。由AEKF和AUKF算法在误差的平均值以及均方误差两方面的仿真实验比较显示，在环境噪声大小变化时，文中得到的AUKF算法能有效消除UKF算法滤波发散问题，使估计误差保持在可靠范围之内。并且AEKF算法相对EKF算法的定位精度也提高了。

通过判定门限的经验取值和收敛因子，定义了一种新开窗窗口的长度的自适应调整。并由MATLAB仿真实验得到收敛因子的最佳收敛速率。文中得到的AEKF和AUKF算法，在短时间的估计计算中，滤波的收敛速率并没有减慢，能有效满足组合导航系统的实时性要求。

该自适应滤波算法结构简单，容易实现，并且都可以与EKF与UKF算法结合。在实际的工程应用中，面对收敛速率和滤波的稳定性这两个相抵触的影响因素时，应该根据具体的情况加以选择。当实时性要求较高时，可以以最小收敛速率为标准进行改进。当稳定性较高时，则以得到最小的均方误差为标准。

由于研究涉及的领域较广、算法较多、理论较深，在对基于多传感器信息融合的GPS/DR车载组合导航系统的研究当GPS信号失锁时，可以使用联合卡尔曼滤波组合方式。对两种滤波方式进行加权处理，以使更优的利用二者信息。

［1］Haitao Zhang，Jian Rong，Xiaochun Zhong．The performance comparison and algorithm analysis of first order EKF，Second Order EKF and smoother for GPS/DR navigation［C］//IEEE InternationalConferenceonCommunicationTechnology Proceedings，2008:432-437．

［2］Jing Yu，Xiyuan Chen．Application of Extended Kalman Filter in Ultre-Tight GPS/INS Integration Based onGPS Software Receiver［M］．IEEE 2010．

［3］Sebastian Kluge，Konrad Reif，Martin Brokate．Stochastic Stability of the Extended Kalman Filter With Intermittent Observations［J］．IEEE Transactions on automatic control，2010，55（2）:514-518．

［4］Yao Li，Xiaosu Xu．The application of EKF and UKF to the SINS/GPS integrated navigation systems［M］．IEEE National Natural Science Foundation of China，2010．

［5］YanLing Hao，Zhen Guo，Feng Sun，Wei Gao．Adaptive Extended Kalman Filtering for SINS/GPS Integrated Navigation Systems［J］．IEEE International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization，2009:192-194．

［6］J Arenas-Garcia，A R Figueiras-Vidal，A H Sayed．Steady stateperformance of convex combinations of adaptive filters ［C］//Proceedings of IEEE International Conference Acoustics，Speech，and Signal Processing，2005．

［7］XING Guo-Quan，Zhao Yuan．Application Analysis of RLS Adaptive Filter in Signal Noise Removing and Simulation［M］．IEEE，2010

The improved adaptive Kalman filter algorithm

LIU Gui-xin
（Hebei Qianjin Machinery Factory,Shijiazhuang 050035,China）

In order to weaken the variational measurement noise influence of the navigation estimation，this paper propose a kind of adaptive filtering method．The algorithm using threshold automatic selection the windowing of length，which regulates adaptive factor，to adjust the gain of Extended Kalman filter（EKF）and Unscented Kalman filter（UKF）algorithm，and rationaliy utilized the measurement information，thus respectively formed the AEKF and AUKF algorithm．When the two kinds of methods were used in the global navigation system （GPS）and dead rocking(DR)tightly integrated navigation system，the simulation result demonstrates that，compared to UKF，the method can effectively avoid filtering divergence．

Kalman filter；GPS and DR integrated navigation system；adaptive filter；AEKF；AUKF

TN713

A

1674－6236（2016）02-0048-04

2015-03-09稿件编号：201503125

刘桂辛（1987—），女，河北保定人，硕士研究生，助理工程师。研究方向：多传感器信息处理。