王华军，赵汝文，朱志斌

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林　541004)



求解第一类Fredholm积分方程的修正CD共轭梯度法

王华军，赵汝文，朱志斌

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林541004)

为了求解第一类Fredholm积分方程，提出了一种修正的CD共轭梯度法，该算法在CD共轭梯度法上增加了一个梯度参数，并证明了该算法的全局收敛性。数值实验表明，与奇异值分解法相比，修正的CD共轭梯度法更有效。

第一类Fredholm积分方程；修正CD共轭梯度法；奇异值分解法

在天线设计、天体测定、图像复原、计算机X射线断层扫描等领域，第一类Fredholm积分方程扮演着重要的角色，但它是不适定的问题，不存在唯一解。

第一类Fredholm积分方程的一般形式[1]为：

(1)

其中：x′为已知点；g(x)为x的观测值；A(x-x′)为高斯核函数；f(x′)为x′的真实值。选取一维高斯核函数：

(2)

其中，参数c、γ均为正数。

求解方程(1)的方法有小波多元函数逼近法、快速多尺度算法、奇异值分解法、最小二乘法，但这些方法求解效果不理想，为此，提出一种修正CD共轭梯度法。

1　修正CD共轭梯度法

修正CD共轭梯度法的迭代形式为：

(3)

其中：xk为x的第k次迭代；αk为强Wolfe搜索产生的步长；dk为搜索方向，且

(4)

gk为xk的梯度，βk为方向调控参数。其中著名的βk计算公式有[2-3]

(5)

(6)

(7)

2　 算法及其收敛性

2.1修正CD共轭梯度法

1)选取参数0<δ<0.5<σ<1，d1=-g1，x1∈Rn，k=1，ε≥0。若‖gk‖≤ε，算法停止。

2)由强Wolfe线搜索准则计算步长αk，即αk满足：

(8)

(9)

3)由式(3)计算xk+1，若‖gk+1‖≤ε，算法停止。

4)由式(4)计算dk+1。

5)k∶=k+1，转步骤2)。

假设‖gk‖≠0，否则算法找到稳定点而停止。

引理1设{gk,dk}为修正CD共轭梯度法生成的序列，则

(10)

证明设θk为向量gk+1与gk的夹角，则