何天光，杜　江

（成都信息工程大学 通信工程学院，四川 成都 610225）

两个子信道的转移概率：



一种高性能低复杂度Polar Code编解码算法研究*

何天光，杜江

（成都信息工程大学 通信工程学院，四川 成都 610225）

极化码（Polar Codes，PC）是一种全新的高性能信道编码技术，是5G移动通信系统的一个研究热点，得到了广泛的关注。传统的连续删除（Successive Cancelation，SC）译码算法在码长有限的情况下的性能较差，为了提高极化码的性能，从计算方式和存储结构两个方面研究了SC译码算法的原理和结构，提出一种SC译码算法的改进型算法CRC-SCL译码算法。为了降低该算法的复杂度，引入了“Lazy Copy”算法。仿真结果表明，CRC-SCL算法与SC算法相比，性能得到了显著的提高。

极化码；SC译码；SCL译码；Lazy Copy

中文引用格式：何天光，杜江.一种高性能低复杂度 Polar Code编解码算法研究［J］.电子技术应用，2016，42（7）：13-16，25.

英文引用格式：He Tianguang，Du Jiang.An efficient and low-complexity encoding and decoding algorithm of Polar Code［J］.Application of Electronic Technique，2016，42（7）：13-16，25.

0　引言

在无线通信系统中，信道编码的目的是使信息在有噪声干扰的信道中能够可靠地传输。根据香农信息论［1］可知，任何通信信道的容量都有一个确定值C，如果通信系统中的传输速率R在满足条件R＜C时，则存在一种信道编码，在不牺牲传输速率的情况下使信息码元的误码率趋于任意小。为此，许多信道编码领域的研究学者为达到这一目标做出了许多贡献。2009年，Arikan等人提出了极化码（Polar Codes）［2-5］，是首次被严格证明能够达到香农极限容量的一种信道编码，而且编译码复杂度在随着码长增加时只保持对数增加。对于译码，连续抵消（Successive Cancelation，SC）译码［2，6］算法是Arikan针对极化码编码结构提出的译码方案。但是，SC译码算法在码长有限时的性能与Turbo码和LDPC码相比不能体现其优越性。因此许多学者在SC译码算法的基础上进行改进，并提出了许多高性能的译码方案。这些算法的性能经证明已经优于 Turbo码和 LDPC码［7-9］，比如序列列表 SC译码（List SC，SCL）［8-9］、堆栈 SC译码（Stack SC，SSC）［10］、循环冗余校验码辅助 SCL译码（CRC-SCL）［11］等算法。随着全球 5G通信系统研究的展开，Polar Code也得到了学术界和国内外5G标准化研发机构的强烈关注。

1　Polar Code编码

1.1编码原理

极化码（Polar Codes）是一种结构性与迭代性极强的信道编码，而且能够被严格证明它的渐进性能够达到香农极限容量。拥有如此高性能的信道编码是因为它的编码核心思想：基于信道极化现象，使其信道性能（可靠性）极好的信道传输有用信息，反之传输双方约定的固定信息。

1.2信道极化

对于任意N=2n（n≥0）个独立的二进制对称输入离散无记忆信道（B-DMC）进行递推方式组合［5］，然后使其分裂后各个子信道的信道容量趋于两极化，随着码长N的增大，这些子信道的信道容量趋于两极化的程度愈加明显。因此这样的操作可称之为信道极化［2］。

例如当n=1时，两个独立的B-DMC信道W通过如图1所描述的方式组合成一个信道W2，这个过程可解释为：信道的输入信息为u1，u2∈｛0，1｝，通过编码后为 x1，x2∈｛0，1｝分别送入两个子信道，输出信号为 y1，y2。

由此，可以通过信道转移概率W（y|x）来表示B-DMC信道的信道容量：

图1　信道组合模型

则由图1所示模型的组合信道W2的转移概率：

两个子信道的转移概率：

通过式（2）、（3）和（4）可知，两个子信道的信道容量一个较好一个较差，若N越大，极化效果会更加明显。通过信道的极化结果，可以挑选出性能好的信道传输信息，可称之为信息位；性能差的信道传输固定信息，可叫作固定位。

图2　极化结果仿真图

1.3信道编码

通过极化现象，可得uN1=（u1，u2，u3，…，uN）的信息向量，向量由信息位和固定位组成。再由编码生成矩阵GN可得极化码编码公式为式中表示比特反转换序矩阵，中⊗表示Kronecker矩阵乘法。可视为2n个信道按照图1所示的模型进行信道组合的数学抽象表示。如表示W2信道，两个独立的W2信道通过组合得一个W4信道，可表示为因此GN为F⊗n的子集。

2　Polar Code译码

2.1 SC译码算法

SC（Successive Cancelation）译码算法是 Arikan根据极化码编码结构的特性所设计出来的算法。通过上一节所述的编码公式可以提取出（N，K，，u∧C）的线性陪集码，N表示为码长，K为信息位长度（向量的元素个数），那么向量的元素是指定了信息向量中的信息位，uC表示固定位的值一般为0。由图1所示译码的目的就是通过接收的信息重新生成的一个估值，显然，、和是已知。由于在编码时让向量u∧C的值为发送和接收双发都可知的固定值，所以在译码器中直接设置来避免在固定位的部分的译码错误。因此译码器的设计重点将放在怎么生成信息位u是估计值

似然比（Likelihood Ratio，LR）的定义为：

2.1.1LLR（Log-Likelihood Ratio，LLR）计算方式

由于 SC译码算法是Arikan针对极化码编码特性而设计出来的，那么它的译码结构和它的编码结构一样具有极其强的规则性。算法结构图如图3所示。

为了计算公式更加简化和硬件可实现性，采用对数域的似然比（LLR）表示。由似然比进行译码判决：

图3　SC译码算法结构图

图中 yi表示信道接收端接收的信号；uˆi表示接收的信号yi通过译码器译码后的输出值；λ表示层（Layer），图中每一列定义为一层：最左边λ=3（λmax=log2N+1）定义为决策层，最右边 λ=1为信道层，其他层统称为中间层；φ表示相位（Phase），就是译码器在每一层计算节点的LLR值的顺序，比如在本例中决策层的节点LLR值计算顺序应为图中节点的（1，3，2，4）。

译码首先从决策层的节点1开始激活，来计算第一个码子的LLR值，以此判决出它的译码结果，但是计算此处的LLR值需要右边下一层节点5、7的LLR值。若这两个节点的值已知，那么通过计算即可得到节点1的LLR值，否者还需要再下一层（本例中的信道层）的 9、10、11、12节点的 LLR值来决定 5、7节点的 LLR值，最终算出节点1的LLR值。信道层的LLR值的计算公式：在计算出节点1的LLR值之后，5、7节点的LLR值已知，根据蝶形图结构，可以直接算出第二个译码码子uˆ3对应的节点3的LLR值。以此操作，直到计算出所有节点的LLR值为止。

在译码过程中，当计算出某一个决策层节点的LLR值之后，首先需要判断当前节点对应的码元是否为信息位，如果是则根据式（6）可判决出当前码子的译码结果，否者该码子直接判决为0。

以上的描述是SC译码算法的LLR值计算方式和判决流程，下面将要讨论每一层（λ＞1）各个节点的LLR值的计算公式。通过对译码结构分析可知在每一层中第φ个节点的LLR值计算时的计算公式为：φ奇数时利用F函数进行计算，φ为偶数时使用G函数。

F函数：

其中：

2.1.2LLR存储结构

在进行决策层节点的LLR值计算时会产生对应中间层节点的LLR值和部分和数据，这些数据都是判决一个码子的重要依据。通过上一小节描述的译码计算方式中可知信道层和中间层的LLR值和部分和都需要存储。在LLR存储时，根据LLR计算特性，以层λ为单元进行存储，第 λ层需存储的数据个数为 n=2m-λ，m=log2N+1。因此存储结构如图4。

图4　LLR存储结构示意图

根据部分和的计算规则可知，它的存储结构与LLR值的存储结构类似。根据SC译码算法的结构和硬判决特点，可知SC译码算法的空间复杂度和时间复杂度分别为O（N）和O（NlogN）。

通过以上对SC译码算法的研究不难发现，算法的一个潜在缺点是：判决当前码子uˆi的值时需要uˆi-1的参与，那么当前码子的判决结果会影响后续码子的判决值。

2.2SCL（SC List）译码算法

根据SC译码算法的缺点，将介绍一种改进的算法SCL译码。SCL译码算法中L表示路径搜索宽度，是算法的一个重要参数。SCL算法的思想是：在路径搜索宽度不大于L的情况下，尽可能保留所有可能的译码路径。例L=4如图5。

图5　SCL（L=4）译码的二叉树路径扩展模型

由图5所示在译码进行过程中，每一次判决译码时进行软判决，一条路径会扩展出两条支路0和1。由于在这两条支路所对应的数据是父节点对应的LLR值和部分和的数据内存，所以在这两条支路继续往下延伸时需要把父节点的数据复制到两条支路之一，以保持两条支路拥有独立的数据内存，这样才能使两条支路独立地继续向下延伸。当译码器在译码过程扩展出的路径超过L时，就需要对这些路径进行删减以保证所保留的译码路径不超过L条。图5中L=4，可知译码结束时，会产生4条路径，每条路径对应如图4所示的数据结构。因此在SCL算法中还需要一个参数来度量当路径超过L时哪一条路径需要删除和决定哪一条路径作为最终译码输出结果，这个参数叫作路径度量值（Path Metrics，PM）。PM值是根据决策层的LLR值计算得出的，计算公式如下：

若 ui∈u∧或固定位ui=0，且

时，有：

若ui为固定位，且取值错误时，有：

纵观整个SCL译码算法，可知它的核心算法是SC译码，在SCL算法中每一条译码路径都相当于一个SC译码而且都是独立运行的，所以路径扩展时需要进行中间层LLR值和部分和值数据的复制，以保证每条路径能够顺利的进行计算译出对应的码子结果，然后根据路径度量值选出最优的一条路径作为最终的译码输出。特别地，L=1相当于SC译码算法。

3　译码算法优化

3.1SCL-CRC算法

为了更好地提升极化码译码性能，在进行编码前加入循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check，CRC）。在加入CRC后，在SCL译码最后的路径选择输出码子时可以优先检查CRC的正确性，再考虑PM值的大小。虽然加入CRC校验码（一般为24位）之后，编码的冗余度略增加，编码率由 k/N略下降为（k-24）/N，但随着码长增加越不明显。在显著提升译码性能的前提下，显然这点代价是可以付出的。

3.2“Lazy Copy”算法

在SCL译码算法中，为了使每条译码路径能够独立地进行SC译码，在路径扩展时需要进行数据的复制。但是，通过对SC译码算法的计算方式的分析，得知这些数据不一定需要进行全部复制。比如由图3所示，在判决出uˆ1的值完成之后应该判断uˆ3值时，只需要让在计算uˆ1对应的节点的LLR值时所得到节点5、7的LLR参与计算，即可得出uˆ3对应节点的LLR值。实际上，SCL译码算法在码长和L的值较大时，采取多条路径对应数据进行全部复制在硬件难以实现，因此可以在复制数据时根据计算需要，只复制数据的地址以减轻复制的数据量。在新的路径中需要数据参与计算时可直接通过先前复制的地址直接去寻址得到数据，在部分和的数据的复制上也可以采取同样的方式，这种方法可称之为“Lazy Copy”。这种算法大大减小了SCL译码算法在硬件实现中的功耗和存储需求，提高了译码算法的可实现性。

4　仿真分析

Polar Code算法仿真平台是基于 AWGN信道下，采用码长N=1 024，码率R=0.5，24位CRC码，分别仿真了L=1，2，4，8，16，32的SCL译码算法性能。仿真结果如图6。

图6　CRC-SCL译码算法仿真结果

仿真结果表明，随着L的值的增加，误码率越低。由L=1和L=2的性能曲线可以看出，SCL译码算法的性能明显优于SC（L=1）算法的性能。

5　结语

极化码是信道编码领域中唯一被严格证明能够达到香农极限容量的编码技术，目前在国际上也是研究的热点，优秀的性能也使它有望成为5G移动通信系统中新型编码体制的有力竞争方案之一。本文通过对极化码编码和解码的详细剖析，可知无论是编码还是解码在算法上都有很大的研究空间。比如，虽然SCL译码与SC译码相比性能上有了很大的改善，但是算法的复杂度也由此增大。如何设计出更低复杂度更高效的译码算法也是学者们研究的方向之一。

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An efficient and low-complexity encoding and decoding algorithm of Polar Code

He Tianguang，Du Jiang
（School of Communication Engineering，Chengdu University of Information Technology，Chengdu 610225，China）

Polar Codes，a new high-performance coding technology，is a research focus in the 5G mobile communication system，and has been widely concerned.The performance of traditional Successive Cancelation（SC）decoding at short to moderate block lengths is disappointing，in order to improve the performance of polar codes，this paper studies the principle and structure of SC decoding algorithm from two aspects of calculation and storage structure，a modified algorithm of SC decoding called CRC-SCL decoding algorithm.For the aims of decreasing the complexity of the algorithm，this paper introduces the"Lazy Copy"algorithm.The simulation results show that compared with the SC algorithm，the SCL algorithm has significantly improve performance.

Polar Codes；SC；SCL；Lazy Copy

TN911.3

A

10.16157/j.issn.0258-7998.2016.07.003

四川省科技厅科技创新研发专项——科技支撑计划资助项目（2014RZ0017）

2016-03-21）

何天光（1991-），男，硕士研究生，主要研究方向：无线通信技术与应用。

杜江（1969-），男，博士后，教授，主要研究方向：新一代无线通信技术的理论及其芯片设计。