徐丽君，廖永志（攀枝花学院 数学与计算机学院，四川 攀枝花 617000）

一阶常微分方程的奇解和包络的研究

徐丽君，廖永志
（攀枝花学院 数学与计算机学院，四川 攀枝花 617000）

微分方程F（x，y，y'）=0的奇解与包络等概念比较抽象，关系复杂，难以理解。利用包络和奇解的定义及有关定理，通过具体实例，用不同的方法研究方程F（x，y，y'）=0的奇解与包络，研究求曲线的奇解与包络的方法，讨论解的唯一性是如何被破坏的。

常微分方程，奇解，包络，通解

0　引言

常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。常微分方程理论的应用已经渗透到经济、生物、工程各领域，关于方程解的存在性，解的唯一性被破坏的奇解和包络，初学者容易把这两个概念混淆。本文将以实例为主，重点分析这两个概念的内涵及其相互关系，希望能够降低教学难度，读者学习的难度。

1　奇解和包络的定义和定理

下面给出一阶常微分方程奇解和包络的定义，以及显示他们之间的关系定理，这是后面部分必须用的。定义1［1］：设Γ：y=φ（x）（x∈J）是一阶微分方程的一特解。如果对，在Q点的任何领域内方程（1.1）有一个不同于Γ的解在Q点与Γ相切，即解的唯一性被破坏，则称Γ是微分方程（1.1）的奇解。

定义2［1］：设在曲线族

Γ是平面上一条连续可微的曲线，如果对于任一点M∈Γ，都有一条曲线族（2）中的某一条曲线K （C*）通过M点并在该点与Γ相切，而且K（C*）在M点的某一领域内不同于Γ，则称曲线Γ为曲线族（2）的一支包络。……