官春梅，吴星星，张四保，席小忠

(1.喀什大学数学与统计学院，新疆喀什　844008；2.新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐　830046；3.宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春　336000)



不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的正整数解

官春梅1，吴星星2，张四保1，席小忠3

(1.喀什大学数学与统计学院，新疆喀什844008；2.新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046；3.宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春336000)

讨论了不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性，利用初等方法给出了该方程的57组正整数解，其中φ(n)为Euler函数.

Euler函数；不定方程；正整数解；初等方法

0　引言

记φ(n)为Euler函数，其值等于模n的一个完全剩余系中与n互素的整数的个数.有关Euler函数φ(n)的方程的研究是初等数论中非常重要和有意义的课题之一[1].求方程φ(x)=m的所有正整数解是有关Euler函数研究的一个公开问题．Erdös[2]与Woolridge[3]都曾研究过这一问题，并给出了相应的成果．文献[4]讨论了方程φ(x1+x2+…+xk)=φ(x1)+φ(x2)+…+φ(xk)的可解性，并给出其所有的整数解；文献[5]讨论了φ(xyz)=2(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性问题，并给出了其全部正整数解.本文讨论方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性问题，并利用初等方法给出其全部正整数解.

1　主要引理

引理1[6]对任意正整数n与m，有

其中gcd(n,m)为n与m的最大公因数.

引理2[6]若整数n≥2，则φ(n)

2　结论及其证明

定理1不定方程

(1)

有57组正整数解：

(x,y,z)=(25,3,3)，(44,3,3)，(50,3,3)，(33,3,4)，(33,4,3)，(25,3,6)，(25,6,3)，(11,3,5)，(22,3,5)，(11,3,10)，(11,3,8)，(11,4,5)，(11,6,5)，(11,5,3)，(22,5,3)，(11,10,3)，(11,8,3)，(11,5,4)，(11,5,6)，(3,3,25)，(3,3,44)，(3,3,50)，(3,4,33)，(3,6,25)，(4,3,33)，(6,3,25)，(3,25,3)，(3,44,3)，(3,50,3)，(3,33,4)，(3,25,6)，(4,33,3)，(6,25,3)，(3,5,11)，(3,11,5)，(3,5,22)，(3,22,5)，(3,8,11)，(3,11,8)，(3,10,11)，(3,11,10)，(4,5,11)，(4,11,5)，(6,5,11)，(6,11,5)，(5,3,11)，(5,11,3)，(5,3,22)，(5,22,3)，(8,3,11)，(8,11,3)，(10,3,11)，(10,11,3)，(5,4,11)，(5,11,4)，(5,6,11)，(5,11,6).

证明由于φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))，所以

从而有φ(x)φ(y)φ(z)≤5(φ(x)+φ(y)+φ(z))，即

下面根据φ(y)φ(z)的值分以下两种情况进行讨论.

情况1φ(y)φ(z)<5.

当φ(y)φ(z)<5时，(y,z)的可能取值为：(y,z)=(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,8)，(1,10)，(1,12)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,8)，(2,10)，(2,12)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,6)，(8,1)，(8,2)，(10,1)，(10,2)，(12,1)，(12,2).

将以上(y,z)的值代入方程(1)，结合引理1与引理2可得，当(y,z)=(3,3)时，方程(1)有正整数解(x,y,z)=(25,3,3)，(44,3,3)，(50,3,3)；当(y,z)=(3,4)时，方程(1)有正整数解(x,y,z)=(33,3,4)；当(y,z)=(4,3)时，方程(1)有正整数解(x,y,z)=(33,4,3)；当(y,z)=(3,6)时，方程(1)有正整数解(x,y,z)=(25,3,6)；当(y,z)=(6,3)时，方程(1)有正整数解(x,y,z)=(25,6,3).在其……