数学排队论在医院管理中的应用

2016-08-29蔺义迪丁冰冰宋运娜齐齐哈尔医学院许强本科学生通讯作者宋运娜197805硕士讲师基金项目黑龙江省大学生创新创业训练计划面上项目201611230005齐齐哈尔医学院教育科研项目JY20141008

中国科技信息 2016年12期

许强蔺义迪丁冰冰宋运娜齐齐哈尔医学院许强，男，本科，学生，通讯作者：宋运娜（1978.05-）女，硕士，讲师。基金项目：黑龙江省大学生创新创业训练计划面上项目（201611230005）　齐齐哈尔医学院教育科研项目（JY20141008）

数学排队论在医院管理中的应用

许强蔺义迪丁冰冰宋运娜
齐齐哈尔医学院
许强，男，本科，学生，通讯作者：宋运娜（1978.05-）女，硕士，讲师。
基金项目：黑龙江省大学生创新创业训练计划面上项目（201611230005）齐齐哈尔医学院教育科研项目（JY20141008）

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评估值120万

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本文从分析门诊业务流程的运行规律入手，探寻流程需要再造的环节点，为门诊资源的优化配置和流程再造提供科学依据，同时证明采用排队论方法的合理性和可行性。采用排队论的理论与方法，通过随机测量齐齐哈尔市某医院的门诊挂号、各科室服务节点的服务时间及急诊处理各类突发情况的平均时间，运用MATLAB计算各节点服务强度、平均排队长、平均排队时间、平均逗留时间、服务台空闲概率和顾客到达后需要等待的概率等运行指标，推算合理的门诊、急诊规模，并模拟计算患者等待成本和医院服务成本之和的最优值。

我国人口数量巨大，而据卫计委2015年5月份的统计，目前全国医院2.6万个，基层医疗卫生机构92.2万个，专业公共卫生机构3.5万个，其他机构0.3万个。在我国，医院门诊部工作量大，一般常见病、多发病患者主要在门诊部就诊。患者的到达及接受就诊服务均受到许多种因素的影响，出现排队现象是不可避免的。以下将对医院门诊排队现象进行全面的分析，给出排队论系统的主要指标，为医院门诊部的质量评估、科学化的管理、缩短患者排队时间和就诊时间提供科学依据。

模型建立

排队论模型（ queuing theory model）是利用数学方法定量地对一个客观复杂的排队系统结构与行为进行动态的模拟，从而对排队系统的概率规律进行科学准确地描述。

模型建立与求解

门诊：

就诊：

急诊：

建立过程

由于我们的处理数据的工具有限，不能严格按照排队论的处理方法来解决问题，所以，我们将模型简化成挂号，就诊和急诊三个阶段分别计算队长及等待时间，然后将挂号与就诊的平均时间相加即为某位患者的就诊所用平均时间。而急诊中根据患者的患病严重情况分为4类（前面已明确指出分类依据），根据医生每时间段内处理患者的人数以及不同类型患者的到达概率来计算平均队长和平均等待时间。

门诊挂号：第j时间段内的排队人数为第j-1时间段内的排队人数加上第j时间段内来就诊的人数，减去此时间段内可以处理的挂号人数，即单位时间与单位时间内可处理的挂号人数的比值。

门诊就诊：第j时间段内的排队人数为第j-1时间段内的排队人数加上第j时间段内挂号人数中挂i科室的人数，减去在此时间段内医生可处理的人数即单位时间与单位时间内医生可处理的平均患者人数的比值。

急诊：第j时间段内的排队人数为第j-1时间段内的排队人数加上第j时间段内来就诊的患者人数中为i类患者的人数，减去在此时间段内医生可处理的人数即单位时间与单位时间内医生可处理的平均患者人数的比值。

模型模拟

数据调查

首先，我们调取了齐齐哈尔当地一家医院的数据，出于医院的要求，我们对这家医院的名称，地址保密。数据均为进来三十天内的产生的数据，对近期医院运行状态的描述有一定的意义。这家医院把自己的科室分为内科、外科、妇科、儿科、中医、五官、精神五官分院这七个科室，本次研究只研究这七个主要科室，各大科室的分科室不在本次的研究范围。我们将在后续的研究中对这些科室进行补足，同时这家医院的收银台基本不存在排队现象，故无法提供数据，所以我们本次不对医院收费的排队情况进行分析。

我们根据我们的需求，设计了调查问卷，主要为了获得以下几方面数据，问卷原稿见附录一。

1.调查医院的基本情况（工作时间、医院分诊台数量、挂号窗口数量）。

2.最近三十天工作时间段内，每半个小时所到的患者总数。

3.完成一个挂号以及各科室诊断一个患者所需的时间。

4.前往各个科室的患者占总患者数的比例。

5.最近三十天内，每个小时到达的急诊患者总数。

6.到达的急诊患者中，四类患者的比例以及救治这四类患者所需的时间。

根据得到的数据我们设计并实施了以下实验。

数据处理

根据我们得到的第二方面和第五方面的数据，我们决定对数据进行拟合，找出数据内在联系。本次实验使用的主要数学软件为Matlab，版本型号为7.0。我们首先使用了Matlab中的拟合工具箱Curve Fitting Tool对数据进行拟合，我们尝试了工具箱内所有的拟合方式，都无法将拟合数据与真实数据的方差降低到1一下，但是，我们发现在使用多项式进行拟合时，随着方程的阶数逐渐上升，真实数据与拟合数据的方差在下降，但受制于拟合工具箱Curve Fitting Tool的拟合阶数只有九阶，拟合数据无法满足我们的要求，所以我们决定不使用拟合工具箱Curve Fitting Tool，使用Matlab内置的polyfit命令进行多项式拟合。得到了方差比较小的数据表达式。代码见附录二。

门诊患者的数据表达式为一十三阶的函数，x的有效取值范围为1-14，x代表的是工作时间内的第x时间段。方程的形式如下。

绘制的图像如图1所示。

根据这个表达式得到的数据与原数据的方差为7.718e-014，这个完全符合我们对拟合数据的要求。绘制出来的图像也与原数据几乎没有分别，故在之后对门诊的实验中我们采用了此表达式。

对于急诊的数据拟合我们依旧实验了拟合工具箱，效果还是不理想，于是，我们继续采用了polyfit命令进行拟合，同时我们提高了我们的拟合阶数，最后在二十阶找到了拟合度最好的表达式。

绘制的图像见图2。

根据这个表达式得到的数据与原数据的方差为0.19868，这个方差比较符合我们对拟合数据的要求。绘制出来的图像也与原数据存在差别，但是差别在可控范围之内，

故在之后对门诊的实验中我们采用了此表达式。

图1 门诊数据拟合图像

图2 急诊数据拟合图像

模拟实验——对于医院挂号排队的模拟实验

这家医院有多个挂号窗口，但是挂号所需的平均时间相同，所以可以将这个排队系统定义为只有一个单服务台的排队模型，采取的服务方式为先到先服务方式。根据门诊拟合方程，我们医院一个工作日进行了模拟。如表1所示。

表1

表1的左侧的一到十四代表一个工作日的工作时间段，每半个小时一段，右侧可以是模拟出来的排队等待人数，所有数据均为负值，而且图六的方程表示出时间越长，等待人数的绝对值也就越大。这表明患者在到这家医院进行挂号时基本不需要等待，这与我们开始掌握的医院平时门诊患者较少的信息相符，模拟成功。由于所有的值均为负值，所以平均队长，平均等待时间是没有意义的。也不存在着绝对忙期（工作任务超过工作能力），所以忙期的意义不大。模拟代码见附录二。

图3 挂号等待人数

图4 就诊等待人数

对于医院就诊排队的模拟实验

这家医院一共有八个大科室群，分为内科、外科、妇科、儿科、中医、耳鼻喉、口腔、精神分院，每个科室群内的平均就诊时间接近相同，所以这个模型应该是一个有八个服务台的排队系统，采取的服务方式应为先到先服务，根据门诊的拟合表达式，我们对这家医院的一个工作日内工作时间段进行拟合。实验结果见表2、图4。

表2

医院门诊挂号排队结果

表2的左侧的一到十四代表一个工作日的工作时间段，每半个小时一段，上边的一到八是科室的编号，模拟的所有数据也均为负值，而且图4的方程表示出时间越长，等待人数的绝对值也就越大。这表明患者在到这家医院进行挂号时基本不需要等待，这与我们开始掌握的医院平时门诊患者较少的信息相符，模拟成功。由于所有的值均为负值，所以平均队长，平均等待时间是没有意义的。但是每条线的倾斜程度不一样，所以每个科室的剩余情况也不同。也不存在着绝对忙期（工作任务超过工作能力），所以忙期的意义不大。模拟代码见附录二。

图5 就诊等待人数

对于医院急诊排队情况的模拟

急诊的处理方法不同于门诊，他采取的方式为先治疗，同时或后挂号，而且急诊患者分为四个级别，第一级别是需要马上急救医疗，否则就会出现生命危险，第二级别是需要尽快给予急救措施，第三级别就是在一定时间内给予急救措施，第四级别，需要较少的急救措施，这就涉及了服务方式的变化，但是，我们研究发现，医院这四类病人是并行处理的，医生有权决定先对那个患者进施救。所以我们也可以得出一组数据，就是医院每小时可以处理的各类患者的个数；同时医院每天各类急诊患者的比例是已知的。所以，我们综合前两个模型，结合拟合数据，建立了第三个模型，并对医院一个工作日内的急救患者进行了模拟。如表3、表4、图5所示。

医院急诊排队情况的结果

表3、表4中一到二十三代表的二十三个时间段，横向一到四代表一到四类患者。根据表3、表4是同一组数据进行两次不同处理之后得到的，我们在计算出表3之后，我们发现一个问题，由于我们采用的算法是加法，所以在计算数据是可能会出现累加的现象，而如果累加的数过大，可能还掩盖后面的绝对忙期，为了避免这种情况的发生，我们对算法进行了改进，加入了判断机制，当模拟数值小于等于零时，算法会给其自动赋予队长为零，这样再次进行了计算，得到表4这样的计算结果。事实证明，我们的发现的问题在这里是不存在的。之后对数据分析发现，急诊也不存在着排队现象的，这对于急诊患者来讲是一个绝对的好消息。图5可以根据倾斜程度，判断平时急诊的过剩程度。但是图像数据本身为模拟数据，我们不对数据进行定量分析。

结语

本文针对齐齐哈尔市某医院门诊问题，以排队论为理论基础，建立了合理设置门诊等就诊流程的数学模型。模型综合了病人和医院两方面的利益，与实际紧密结合，具有现实可操作性。

对医院门诊进行合理规划，有效减少患者的排队等待时间，提高医疗工作效率，具有重要的理论和实际意义。上述的案例中提出了齐齐哈尔市某医院门诊排队合理安排的评价和优化问题。

表3

现象原因

我们的调查与收集数据的时间在今年（2016年）的3月份，而此时正是节假日刚刚结束，可能有一部分疾病都在节假日已经进行了门诊，而且正是市民刚刚上班，刚刚开学的时间，相对于平时，比较忙，我们调查的地区是市周边的医院，存在人流量比一般的医院，患者的数量要少，这也就可能造成数据结果显示齐齐哈尔市这家医院门诊和急诊过剩的原因。