周建萍

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）06-0123-01

在高考数学的选择题中，有一类问题的求解是学生颇感困难的，即抽象函数问题。由于此类问题中的函数为抽象函数，不像具体的函数有确定的函数解析式，也没有确定的性质可用，学生解题时往往感觉无从入手。加上此类问题大多综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，常常还要运用到化归的数学思想和数形结合的数学思想。本文就近几年高考题中出现的抽象函数问题，谈谈解决这类问题的几种有效方法。

一、赋值法

由于抽象函数没有具体的函数解析式，求函数值时无解析式可代入，故其求函数值时常采用赋值法。

1.（四川卷）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（ ）

2.（陕西卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），f（1）=2，则f（-3）等于（ ）

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

解析：由于函数f（x）是抽象函数，故适合赋值法。

由已知f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0得f（0）=f（0）+f（0）+2×0×0，所以f（0）=0，令x=y=1得f（2）=f（1）+f（1）+2×1×1=6，f（3）=f（2）+ f（1）+2×2×1=12，令x=3，y=-3得f（0）=f（3）+f（-3）+2×3×（-3），因为 f（0）=0，所以f（-3）=6.故选C

二、利用函数的性质法

抽象函数问题大多涉及函数的奇偶性、周期性，单调性等性质，又由于其为抽象函数，不像具体的初等函数有确定的函数性质，因而解决这类问题必须从函数性质的定义出发，运用化归的数学思想和数形结合的数学思想等解答问题。

3.（全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）

A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2） D.f（x+3）是奇函数

解析：本题中涉及函数图像的平移，函数的奇偶性、周期性等性质，加上函数f（x）是抽象函数，学生往往感觉无从入手。事实上，只要抓住函数图像的平移，函数的奇偶性质的判定，问题不难解决。……