小学数学典型错例分析及矫正策略

编者按：学生在学习数学的过程中，不可避免地会出现一些错误。作为教师，我们不仅要宽容学生的错误，更要对其进行全面的诊断和分析，让错题成为学生进行再度探究的学习资源，成为教师反思自己教学得失的载体。

数与代数

【错例】

【诊断】

1.运算习惯欠佳。学生缺乏良好的审题习惯，拿到习题，没有仔细分析题目特点，理清运算顺序，而是盲目计算。

2.算式结构干扰。第1题学生是被运算符号呈现的结构性对称所干扰，忽略了同级运算要“从左到右依次计算”的法则，此类题作为“直接写得数”的题目错误率会比脱式计算要高。第2题学生显然知道应用乘法分配律来简算，但是展开时另一个因数没有乘括号外的因数，大多是受到和分母相同的影响。

【对策】

1.注重培养习惯。混合运算的教学中应注重培养学生养成“一看、二慢、三通过”的运算习惯。一看，即看清题目要求，看准数字及运算符号；二慢，不急于动笔计算，要明确运算顺序，在需要变一变的地方想清楚根据；三通过，就是细心计算，必要时用好草稿本。对于“能简算的要简算”等要求保持冷静，不能“瞎简算”。

2.促进算理建构。教学乘法分配律不是一蹴而就的，前期要多渗透，多积累；中期要多体验，多变式；后期要多推进，多交流。乘法分配律的应用从整数扩展到小数和分数时，也要给足时间，逐步深化理解。在解决实际问题中，要有意识地通过一题多解，沟通算理，生成新的感悟和体验。

3.加强题组辨析。精心设计题组练习，坚持一题多变，一题多练，呈现不同的习题构成，用类似的题目尽可能揭示可能的解题错误。如：和（100-1）和25×100-1等。

【错例】

【诊断】

2.属性解读不准。第2题的错误在于6+x≠6x，6是已知数，x是未知数，两者属性不同，两者是相加关系，不是相乘关系，不能变成6x，也有学生这里出现7x的错误，原因与之相同。

【对策】

1.把握解法依据。利用等式的性质解方程，是当前小学阶段较为通行的做法。其目的是等式一侧的简化，使之只剩下x。含有未知数的项可以出现在等号的左边，也可以在右边。教师要提供给学生多种形式的方程，如2x+1.2=3.6、8x=25+3x、9x=81、0.42-0.14=7x等，让学生利用等式的性质对方程进行变换，防止思维定势的形成。同时，也要重视减法和除法各部分之间的关系，减数=被减数－差、被减数=差+减数；除数=被除数÷商、被除数=商×除数。如24-x=9、10÷x=5、2.8-0.4x=1等。

2.强调检验回顾。使方程左右两边相等的未知数的值才是方程的解，能不能满足两边相等，需要将所求得的未知数的值代入原方程检验。可以说，检查验算是解题活动中的重要环节，是正确解题的保障。实际上相当多学生怕麻烦，不能自觉去检验。教学中，一方面规范检验过程，教会检验方法，另一方面时刻强调检验，多采取口头说一说的研究方式，培养检验意识。当检验发现求解错误了，提醒学生不要急忙擦去重做，而应先排查什么地方有错，想明白错误原因，然后再有根有据、有条有理地解答。

3.沟通多种方法。解方程时，思路常常不是唯一的。学生多掌握一种思想方法，就会多一份解决问题的底气。如（6+x）×5=150，第一步可以两边同时除以5，得6+x=30，解得x=24；也可以将方程左边展开得到6× 5+x×5=150，变成30+5x=150，5x=120，解得x=24。呈现不同的解题思路之后，还要注意分析方程变形的依据和联系，从而实现立体式的数学学习。

【错例】

1.男生人数比女生人数多25%，那么，女生人数比男生人数少（25）%。 2.一列火车每小时行130千米，比一辆汽车快。这辆汽车每小时行多少千米？

答：这辆汽车每小时行91千米。

【诊断】

1.相差关系负迁移。第一学段学习中学生接触了大量的两个量相差关系问题，积累了形如“甲比乙少5个”则“乙比甲多5个”的经验。这种经验对于“一个数比另一个多（少）几分之几”的干扰是潜在的。第2题是将“火车比汽车快3”错误理解成“汽车比火车慢3”。1010两题错误本质上是相同的。学生变换比较时忽视了单位“1”的不同。

2.理解分率不到位。这类错题中学生显然缺乏对分率正确而细致的解读。男生人数比女生人数多25%，这个25%是女生人数的25%，完整的说法是“男生比女生多的人数相当于女生人数的25%”，即（男生人数-女生人数）÷女生人数。“女生人数比男生人数少百分之几”，意思是“女生比男生少的人数相当于男生人数的百分之几”。

【对策】

1.找准关系，灵活转化。百分数也叫百分比。抓住百分数与比的联系，对关系句进行多种表述的转化，是对百分数意义的强化，也是有远见的拓展。男生人数比女生人数多25%→男生人数是女生的125%→男生人数与女生人数的比是125∶100（或者最简整数比5∶4）→女生人数与男生人数的比是4∶5→女生人数是男生人数的即80%）→女生人数比男生少20%。这样一步步转化，思路简易，脉络分明。

2.借助图示，落实方程。列方程解决实际问题是五六年级才学习的，此前长期使用算术方法。在最初学习列方程解法时，因为书写繁琐，影响了学生对方程解法的正确认识。教师应该站在小学与初中衔接的高度看待方程的价值，着力展现方程解法的优势。通过画图，表现出事件演变，从开始到结束理出进程，辨析起始条件是否已知，如果条件未知时引入字母来表示未知数即可，就把数学问题转化为代数问题了。

【错例】

a、b是互质数，a和b的最小公倍数是（a），最大公因数是（b）。

【诊断】

1.概念不清。“数的整除”单元概念术语多，内容抽象，文字表述上又多有相近和相似之处，学生容易混淆，不易掌握，从而产生不少错误。此题中，学生显然对“互质数”是无视或遗忘的，对最小公倍数和最大公因数的知识点也无从想起。

2.字母影响。最大公因数、最小公倍数的知识点在分数的约分、通分、化简比等后续学习及练习中不时会用到，不过面对的数值都是具体数。笔者跟踪调查发现，此题改成具体数后学生的错误率直线下降。如：5和8的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

【对策】

1.利用思维导图，形成知识网络。新授时教师要扎实组织好学生理解每一个概念，每一课时内容都安排相应的知识承包人，不同的负责人寻找并展示交流不同概念之间的联系。如：因数倍数组，奇数偶数组，质数合数组等。这样保证第一时间把知识学对学会。单元整理复习中建议利用思维导图，理清每一个知识点的衍生情况，理清众多概念的联系及区别，最后几个小组通力合作，绘制本单元知识树，构建完整的知识网络。

2.用好错题资源，设计开放练习。平时教师应精心采集班级学生中真实的错例，复习前认真辨析学生所犯的错误，排除偶然的错误和小众的错误，找出一错再错的顽固性、普遍性的问题，发动学生分析其内在机制。随后找出知识点之间的衔接和发展、联系和区别，抓住核心问题，在宏观整合方面下足工夫。设计开放性的问题，在学生你说我说的交流、较量、思辨、碰撞中唤醒知识印象，进一步培养学生的数感。

【错例】

【诊断】

1.缺乏解题反思。榨油问题的基本常识是油的质量应远小于原料的质量。而此题答案“1吨花生可以榨油吨”显然是不合常理的。如果学生能够把答句写完整再读一读，这种错误是能够被发现和改正的。

2.数量关系混乱。受分数的干扰，学生没有仔细把握数量之间的关系，表现为思维时的慌忙和混乱。求“1吨花生可以榨油多少吨”与“求花生的出油率”解题思路一致，遗憾的是，学生解题过程中所想太死板，并不能清晰地辨别“油的质量÷花生的质量”与“花生的质量÷油的质量”两者的不同。

【对策】

1.列表整理，理解联系。在教学这类除法问题时，首先要坚持列表整理，弄清楚条件与问题中包含哪两种相关联的量，这两种量的变与不变是什么。

2.调查交流，形成印象。在教学百分率时，可以再次提及这类问题，开展课后调查及交流展示，丰富学生对油料作物出油率的了解。如，我国常用的油料有：芝麻、花生、油菜籽、大豆、棉籽、核桃仁、葵花籽、山茶籽等。其出油率参考值为：芝麻45%～55%，花生40%～50%，油菜籽30%～45%，大豆12%～18%，棉籽11%～25%，核桃仁60%～70%，葵花籽50%～55%，山茶籽26%～38%。采用家用榨油机压榨，出油率一般比理论值要低5%左右。

3.紧扣对应，探究多解。上面的问题中条件、问题中所含的两个比的比值是相等的。因为是同一种花生，出油率相同。设1吨花生可以榨x吨油，可以列出的比例有：等。利用比例的基本性质都得到1x= 10，可谓殊途同归，最后解得x=。比例的解法还可以扩展到很多类似的情境及问题。如“一辆汽车行千米用汽油升，行1千米用汽油多少升？1升汽油可供这辆汽车行多少千米？”总复习时，教师要坚持融合与创新，不能满足学生已经学会某类问题的特定思路，必须不断地在多样的知识方法框架下审视此前的一些问题，化繁为简，让学生习得更加简易、更加清晰的解决方案，增强学生进一步学好数学的信心。

【错例】

一项服装加工出口任务，甲车间独立完成需要8天，乙车间独立完成需要10天。现在由甲、乙车间共同完成，一段时间后乙车间另有安排，剩下的由甲车间接着完成，又用了4天。完成任务一共用了多少天？

【诊断】

1.问题解析不到位。学生对于“完成任务一共用了多少天”缺乏准确的判断，错解一是在合作完成的天数上又加上剩下的甲独做的天数；错解二是仅仅考虑了甲、乙共同做的天数。此题中施工情况可以分为两种，在同一时间内，一种是一个车间在做，另一种两个车间都在做这个任务。不管是甲、乙先共同做然后甲接着做，还是甲先做然后甲、乙再共同做，对应的总天数是一样的，因为甲从头到尾都在做这个任务，乙参与部分时间，也就是说，甲工作的时间也就是一共的天数，乙参与的时间比甲少四天。

2.找不准合作总量。在工程问题中，都是把工作总量视为单位“1”，基于这个前提，才有了甲、乙各自的几分之一的工作效率。而错解前两种所求天数对应的工作总量是大于1的，第三种错解中天数所对应工作总量小于1。从纠错难度看，错解三订正的难度最小。

【对策】

1.回归生活，实现推演。教师从“最近发展区”入手，精心设置台阶，在已知与未知之间铺路搭桥，减缓学生理解掌握新知的坡度。从具体的工作总量入手，理出解题基本思路，即：合作的工作总量÷工作效率的和=合作完成天数。如，新修一条长6000米的公路。两个工程队，甲队单独修20天完成，乙队单独修要30天完成。两队合作完成需要多少天？然后改为3000米、3千米、1千米等，比较算式，并思考：道路总长发生变化的时候，哪些量在变，哪些量没有变？

2.猜想验证，比较归纳。猜想与验证是学生自主探究的有效方法。先让学生发散思维，在猜想中预测结果，提高学生参与验证的热情。不给出具体工作总量，只知道甲、乙两队各自完成的时间，怎样求他们合做完成时间呢？小组讨论形成思路，理解解答特点。根据学生讨论归纳：（1）把工作总量看成单位“1”；（2）几天完成，工作效率就是几分之一；（3）用工作总量除以工作效率和就得到工作时间。随后，将新知与旧知“给出具体数量的工程问题”进行比较，引导学生区分新旧知识的异同点，生成认知新体系。这里，笔者建议大家提一提列方程的解题方法，或者使用列方程的方法贯穿全程也是可以的。

3.变式训练，类推应用。通过变式训练，引导学生寻找知识间的联系，进行迁移、类推，加强学生对本节课的理解与对知识的消化，有效巩固工程问题的解题思路和解题方法，从而提高解题能力。如改变问题情境，将工程问题转化为行程问题。（1）甲车从A城市到B城市要行驶2小时，乙车从B城市到A城市要行驶3小时。两车同时分别从A城市和B城市出发，几小时后相遇？（2）水库遭遇暴雨，水位已经超过警戒线，需尽快泄洪。这个水库有两个泄洪口。只打开A口，8小时可以完成任务，只打开B口，6小时可以完成任务。现在两个泄洪口同时打开，几小时可以完成任务？（3）张先生去市场买家具，预算资金如果全部买餐桌可买10张，如果全部买餐椅可买60把。后来他用这笔钱成套添置了餐桌椅，一张餐桌配4把椅子。你知道他买了多少套吗？

【错例】

王笑笑把800元压岁钱存入农业银行，定期两年，年利率是2.25%。到期后，她可以从银行取回多少元？

错解一：800+800×2.25%=818（元）

答：她可以从银行取回818元。

错解二：800×2.25%×2

=800×0.225×2

=360（元）

答：她可以从银行取回360元。

错解三：800×2.25×2=3600（元）

3600+800=4400（元）

答：她可以从银行取回4400元。

【诊断】

1.缺乏活动经验。学生没有实际参与过储蓄活动，不了解存款、取款的现实情况是怎样的。对于生活在城镇的学生来说最多有ATM取款的经验，对家庭存款、贷款、炒股等理财情况，学生也大都是不知道的。这就导致学生在计算时会机械计算，缺少最基本的预估。题中的年利率是2.25%，要存40多年，才能达到100%，也就是利息和本金同样多。

2.没有掌握公式。利息=本金×利率×存期，应用这个公式，错解一中忘记了乘存款的时间；错解二是计算过程中把百分数化成小数时出现错误，且没有计算本金；错解三只乘2.25等数，忽略了百分号。整体看是没有掌握计算利息的公式，缺少百分数的计算技巧。

【对策】

1.丰富实践体验。教学利息的内容之前，教师布置调查性作业，让学生走入银行储蓄网点，实地了解储蓄的事宜，搜集存贷款利率；和家长交流，了解家庭存贷款情况。通过这样的前置学习活动，了解本金、利息、利率、存期等概念术语。教学中可以安排填写存款单、设立模拟银行，有条件的还可以邀请在金融机构工作的学生家长走入课堂，开设相关讲座。

2.充实欣赏拓展。教学中可以设计“你知道吗”板块，介绍近年来历次利率变动情况，补充利息税的知识，或讲述有关利息的历史故事（如法国与卢森堡之间的玫瑰花案、美国人德哈文的借款、成都汤婆婆的老存单等）。还可以利用机动课时，引导学生探索单利复利、理财、贷款、分期付款、股票等数学问题，促使学生能够在更加广阔的生活及文化背景里审视数学知识的魅力。

（仲崇恒）

图形与几何

【错例】

在直径4米的圆形花坛外，铺一条环形石子路，路面宽2米。这条石子路的面积是多少平方米？

【诊断】

1.干扰条件过多。学生往往知道求环形面积的方法，即用外面大圆的面积减去里面小圆的面积。但是环形面积计算过程中干扰条件过多，如大圆和小圆的半径、直径和周长，还有大圆和小圆之间的距离等，无法使学生排除干扰聚焦到“大圆半径和小圆半径”上去，即使考虑到大圆半径和小圆半径，也不容易在多变的条件中准确找到需要的信息。

2.解题方法过少。学生在解决类似的问题时往往缺少有效的方法帮助表征题意、理清信息，在头脑中对题中的数量之间的内在关系尚不完全清楚的情况下，就开始动笔列式，出现错误也就难免了。

【对策】

1.学会画图，寻找半径。教学时要引导学生养成画图表征题意的习惯，并在画好的图中标出样相关的数据，这样就可以很直观地看到各个数量间的关系，明确大圆的半径比小圆半径多的就是路面的宽。也有利于排除无关因素的的干扰，将注意力集中在大、小圆的半径上。

2.对比训练，排除干扰。这一类型的题目其实只要不去理会过多的其他信息，紧紧盯住大半径和小半径，再用大圆面积减去小圆面积即可。在教学这一类问题时，可设计下列对比题（以错例一为例），逐题练习比较：

（1）在半径4米的圆形花坛外，铺一条环形石子路，路面宽2米。这条石子路的面积是多少平方米？

（2）在直径4米的圆形花坛外，铺一条环形石子路，路面宽2米。这条石子路的面积是多少平方米？

（3）在周长12.56米的圆形花坛外，铺一条环形石子路，路面宽2米。这条石子路的面积是多少平方米？

3.适度拓展，灵活运用。环形面积的计算也有很多拓展题型，如下面两幅图中已知阴影部分的面积，求环形的面积等，将环形的面积计算与正方形、三角形的面积相结合。这种题目的解答，需要学生根据阴影部分的面积整体考虑环形中的R2-r2，有利于学生对于环形面积计算方法的本质的理解，更有利于学生几何思维的发展。

【错例】

在一个长7分米、宽5分米的长方形纸上，要剪出两条直角边是2分米的等腰三角形小旗，最多能剪多少个？

错解：（7×5）÷（2×2÷2）=17（个）……1（平方分米）

答：最多能剪17个。

【诊断】

1.解题思路的负迁移。这种类型的题目在平面图形和立体图形部分学习时比较常见，有的是把大的长方形纸剪成小的长方形、正方形、三角形，求可以剪成多少个；也有的是把一个大的长方体木块切成小的正方体木块、或是在长方体的盒子中装入正方体，求能切成或能装入多少块。学生常犯的错误是在平面图形中用大面积除以小面积，在立体图形中用大体积除以小体积。犯错的原因从本质上讲，就是求一个总量中有多少个部分量的解题思路的负迁移作用，在思维上习惯性地认为大长方形中有多少个小三角形，就应该用大长方形的面积除以小三角形的面积。

2.空间观念的不成熟。在解决这类问题时，要求学生不但考虑原来长方形的面积与剪成的小三角形面积间的关系，更要考虑到实际情况，即长方形的长、宽与三角形的两条直角边之间的倍数关系，是否可以正好剪成几份、在剪的过程中是否会存在“边料”等问题。在立体图形中则要考虑长、宽、高三个维度的切割情况，这就要求学生具备一定的空间想象能力。从学生的错解情况来看，显然学生的空间观念尚未得到较好的发展。

【对策】

1.养成画图习惯。在图形与几何部分的习题解答中，养成根据题意画示意图的习惯可以有效地帮助理解题意，获得问题的解法。要让学生边读题边画示意图，同时要注意画图的方法指导，根据实际数据确定图中相关的长度、大小等，并把数据标在图中。如图，学生从图中可以轻易地看出，因为在剪的过程中存在无法利用的边料，所以最多剪12个三角形小旗。

2.形成正确思路。在画图直观帮助理解的基础上，引导学生分析错解中方法的不足，即没能考虑到实际情况，错解中的方法只能适用于剪切时没有边料，恰好能全部利用的情况。所以正确的解题方法应该是，看沿着长方形的长能剪成几列、沿着长方形的宽能剪成几行，再根据剪成的行数和列数算出剪成多少个小正方形，进而算出剪成多少个小的三角形。在立体图形中则要从长、宽、高三个维度考虑可以切成几层、每层几排、每排几个，形成关于这一类题目的思考模式。

3.坚持对比训练。可以在平面图形部分和立体图形部分分别安排如下的题组对比练习，在对比中体会剪切的不同情况，以及平面与立体图形中这类问题思考方法的共同之处，和这种思考方法的普遍适用性。

（1）在一个长9分米、宽6分米的长方形纸上，要剪出边长是3分米的小正方形，最多能剪多少个？

（2）在一个长9分米、宽6分米的长方形纸上，要剪出边长是2分米的小正方形，最多能剪多少个？

（3）把一个长8分米、宽6分米、高4分米的长方形体木块上，切割成棱长是2分米的小正方体，最多能切多少个？

（4）把一个长8分米、宽6分米、高4分米的长方形体木块上，切割成棱长是3分米的小正方体，最多能切多少个？

【错例】

长江长6400多（米），一个城市城区的面积为25（公顷）。

【诊断】

1.单位建构不深刻。在各个年级学习测量单位时，学生往往对单位之间的进率，以及单位之间的化聚掌握相对较好。但对这些长度、面积、体积单位所代表实际大小没有确切的概念，多数学生仅仅停留在1个单位长度或面积表象，能够比画出诸如1米的长度、甚至用数学语言描述出1公顷的大小，即“边长为100米的正方形的面积”，却不能将其与生活实际紧密联系起来，遇到要将知识运用到实际物体的长度、面积中就缺乏解决的策略。

2.生活经验的缺失。学生对长江的长度以及一个城市城区的面积接触不多，甚至是没有接触。看到“6400多”，他们认为这已经是相当大的一个数字，以为用“米”已经够长了，他们觉得用上“千米”不可思议；学生觉得25公顷已经是很大的面积了，25平方千米到底有多大，与他们的生活经验相去甚远。

3.解题策略的缺乏。遇到类似的与生活经验有一定距离、数据或单位又比较大的情况，学生也未能采用与身边熟悉的生活场景、实物进行比较思考的策略，多是凭着感觉走，所以出现错误也就在情理之中了。

【对策】

1.构建单位表象。利用生活中的资源，适时展示更多的实物，帮助学生建立起对各个单位实际大小的正确表象，通过观察、比较、描述、估测、想象等活动，把各个单位的表象印在脑中，并用身边熟悉的实物、以及“身体尺”随时进行验证，通过物体之间的相互对比，努力将学生实际感知与估测能力的发挥相结合，将“测量”教学与生活实际相结合，培养其估测能力与参照能力。

2.丰富生活经验。在形成对各个单位实际大小正确的表象之后要结合相关的资料介绍，为学生提供更多的含有不同数据的资源，让学生将单位与数据结合起来对实物进行考量，获得更多的生活经验和数量体验。如世界各大河流的长度、不同的桥的长度、一些湖泊的面积、公园的面积、城市的面积、各个省的面积、国家的国土面积等。

3.形成有效思路。当然也不能让学生进行刻板的记忆，要通过对这些数量的体验，帮助学生建立参照体系，形成利用参照物进行比较与思考的方法。如生活中比较熟悉的一条路大约长3千米，那么思考长江的长度会不会只有这条路的两倍长？学校的操场大约是2公顷、学校的总面积大约是8公顷，那么城区的面积会不会只有学校面积的3倍左右？学生在填写单位的过程中将头脑中的表象与生活中的经验以及正确对比、参照的思路相结合，出错的概率就会下降。

【错例】

1.把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形的周长比圆的周长多2分米，圆的面积是多少平方分米？

错解：22×3.14=12.56（平方分米）

2.把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米。已知圆柱高20厘米，圆柱的体积是多少立方厘米？

错解：（200÷20）2×3.14×20=6280（立方厘米）

【诊断】

1.数量关系复杂。圆和圆柱在化曲为直的过程中，在保持面积不变和体积不变的情况下，一些数量发生了变化，需要寻找这些变化的量发生变化的原因，并从这种变化中找到相关的数据，从而完成问题的解决。在圆化转成正方形过程中，牵涉到的量有周长、面积、半径、半圆周等，在圆柱转化成长方体的过程中牵涉到的量更多，这些量之间的关系比较复杂，学生常常会感到无所适从，导致错误。

2.数学模型不熟。两道题目各有一个数学模型，如下图所示。第一个模型中的圆与长方形，有面积相等的部分，有长度相等的部分，也有多出的部分；第二个模型中的圆柱与长方体，有体积相等的部分，有面积相等的部分，也有面积多出的部分。在相等与多出的部分中又有一些诸如半径、长、宽、高等量之间的关系，如果学生对于这两个模型以及相关数量间的联系不熟悉乃至不明确，那么在解题过程中势必会遇到困难。

3.空间想象不够。学生在学习圆的面积推导和圆柱的体积推导时，借助于图形的演示和教师的引导，能够得出相关的公式。但是当学生脱离具体的图示，头脑中的表象就不是那么特别清晰，具体解决这样的问题时再没有养成画图的习惯，而空间想象能力又不是特别成熟，所以很容易出错。

【对策】

1.细化推导过程。学生开始学习圆的面积公式和圆柱的体积公式推导时，就要对变化前后的图形之间的关系进行细致、深刻的讨论，明确各部分量之间的联系，知道哪些量发生了变化、哪些量没有发生变化，发生变化的原因是什么等等。即不以公式推导为唯一目的，重视对图形的变与不变的分析与感受。

2.强化数学模型。可以通过题组练习，以专题讨论的形式，强化学生对两个公式推导的图形模型的理解与认识。如圆的面积推导的模型，可以出示下图组织学生讨论下面几组题：

（1）长方形的面积是（）平方厘米；长方形的长是（）厘米；长方形的周长是（）厘米；比圆的周长多（）厘米。

（2）把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形的周长比圆的周长多2分米，圆的面积是多少平方分米？

（3）把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形的长是9.42分米，长方形的面积是多少平方分米？

（4）把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长方形与圆重叠部分的面积是3.14平方分米，长方形的周长是多少分米？

3.培养画图习惯。对于部分空间想象能力落后的学生，则要帮助他们养成画示意图理解题意的习惯，让他们在直观形象中描一描、标一标、比一比、算一算，以求得正确的解答。

【错例】

如图，画出把左边平行四边形按2∶1放大后的图形。

错解：图中右边的平行四边形。

【诊断】

1.本质认识有偏差。图形在按比例放大与缩小的变换过程中应该有两个本质属性：一是不改变每个角的大小，二是对应线段都扩大或缩小相同的倍数。在错解中，学生把平行四边形的底和高都扩大了2倍，但是左右两条斜边扩大的并不是2倍，而且4个对应的角的大小也都发生了改变，即两个本质属性都不符合。

2.素材选取太片面。在教学“放大与缩小”这一内容时，教材例题以及习题中只有让学生让一定比例放大或缩小长方形、正方形或直角三角形，这几种图形其实是比较特殊的，因为它们只需要关注两条成直角的边放大或缩小相同的倍数即符合了两个本质要求，无意中就回避了对相邻两条边的夹角不能发生变化的属性的关注。由于习惯性操作的负迁移，学生在解答这类习题时，也无意中会选择成直角的底和高来放大或缩小，学生发生错误也就在情理之中。

【对策】

1.丰富教学素材。在学生初步认识“放大与缩小”时，即选择长方形、直角三角形、一般三角形、平行四边形等多种图形作为教学素材，分别讨论放大与缩小过程中的相关变化与不变的因素，丰富学生的感知。

2.强化变换本质。在不同类图形的变换讨论中，强化变换过程中的两个本质属性：不改变每个角的大小，对应边的长度都扩大或缩小相同的倍数。同时让学生理解两个属性之间的内在联系，即每个角的两条边的长度扩大或缩小，原本就对角的大小是没有影响的。在提供正面例子积累感性经验的同时，也可呈现错误的反例，在对比中加深认识。

3.指导变换方法。图形的放大与缩小可采用不同的方法，如图a中将两条邻边及中间夹着的对角线分别延长2倍至A、B、C多个点，再把AC、BC连接即可；也可如图b所示把平行四边形的底和一条高分别扩大2倍，但要注意这条高所在的垂足位置始终应该在底边的三分之一处，然后再把相应的边连接起来。这些方法的指导，还是要引导学生讨论，这样的操作从本质上讲还是为了保证放大与缩小的两个属性。

（张敏）

统计与概率

【错例】

1.气象站在一天的2点、8点、13点、20点测得的温度分别是8度、15度、24度、17度。求这天平均气温的算式是（B）。

A.（8+15+24+17）÷4

B.（8+15+24+17）÷（2+8+13+20）

2.下面是开元公司2015年4个季度生产情况统计图，根据统计图提供的数据选择。要求平均每月生产多少万吨，正确的算式是（A）。

A.（40+60+80+120）÷4

B.（40+60+80+120）÷12

开元公司2015年各季度生产情况统计图2016年1月

3.一辆汽车从相距400千米的甲地开往乙地，去时平均每小时行80千米，回来时平均每小时行100千米。求这辆汽车往返甲、乙两地平均速度的算式是（A）。

A.400÷（400÷80+400÷100）

B.400×2÷（400÷80+400÷100）

4.小强身高155厘米，他到一个平均水深90厘米的小河里游泳，（B）危险。

A.还会有B.不会有

【诊断】

1.平均数意义剖析不到位。教学时教师没有很好地将平均数的意义剖析到位，导致学生对平均数意义的理解不全面，从而在解决实际问题时，出现思路混乱现象。

2.学生多种习惯没有养成。学生没有养成良好的审题、检验习惯，对题中的关键性已知条件也没有进行细致分析，从而出现错误的解答。

【对策】

1.从动态演示中帮助学生理解平均数的意义。虽然学生在第一学段已学过平均分，但是这与平均数的意义既有联系又有区别。所以在教学时，教师要充分借助多媒体技术，通过动态演示，让学生理解“平均数是把一组数据里多的移一些补给少的（移多补少），匀得每份变得同样多”，同时要通过教学，让学生理解“平均数”代表一组数据的总体情况，它不是指这组数据中每个数据都是平均数的值，它的范围在最大数和最小数之间，一组数据中的任意一个数的变化，都会影响平均数的大小。

2.从指导审题中培养学生良好学习习惯。教师要指导学生认真审题，特别是要将题中隐藏的或容易被忽视的已知条件挖掘出来，通过画一画或再读一读等方法，理解其含义。同时在解题结束后，要引导学生检验。如第3题中“往返甲、乙两地”，通过审题，要让学生明白这辆汽车行驶的总路程不是400米，而是“400×2”米，解题结束时，可以通过估算判断平均速度为千米/小时是错误的，因为算出的平均数不是在80和100之间。

【错例】

1.下面是某校五年级一班体育达标合格人数统计图。

五年级一班体育达标合格人数统计图2016年1月

观察统计图回答问题：这个班至少有多少人？

答：这个班至少有48人。

2.在一个圆形花坛内种了三种花（如下图所示），用条形统计图表示各种花占地面积应该是（A）。

【诊断】

1.教师教学偏差。上面两题都是学生不会进行数据分析引起的，其深层的原因在于教师对“数据分析观念”理解不透，教学时，过于关注技能性目标的达成，而忽视让学生经历收集、整理、描述和分析数据的全过程，从而导致学生缺少对数据的“感悟”。

2.学生观察不全。学生的关注点只落到某一两个数据上，由于观察不全面，导致解题错误。如第1题，学生只关注“立定跳远”，将“立定跳远”中达标合格的男、女生人数相加，而没有整体观察四个项目中男、女生达标最多的各有多少人。第2题学生关注到了扇形统计图中鸡冠花和万年红表示的数量相等，菊花的数量比鸡冠花和万年红多，但是没有根据扇形统计图的意义进行思考，从而没有形成三种花各占总数的百分之几的数学意识。

【对策】

1.引导学生全面看图、整体分析。如教学复式条形统计图时，可以将“图例”“项目和数量”“数据”等作为重点来学习。教学扇形统计图时，要让学生理解“用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分之几”，还要培养学生看图读图的意识，从图中不但要能看出部分数量占总数量的百分之几，还要能够从扇形的大小中估计出部分数量占总数量的百分之几。在这基础上，引导学生从关键性知识入手，作数据分析，这里的分析不只停留在数据信息的直接描述上，而要通过观察、比较、计算和估算，对统计数据进行分析、判断或解释，从而提高学生数据分析观念的形成与发展。

2.指导学生根据分析提出问题并解决问题。如第1题中，在分析数据后，可以引导学生提出数学问题：男、女生成绩相差最大的运动是哪一项？这个班最需要加强的是哪一项训练？

【错例】

抛两枚硬币，如果两枚硬币朝上的面相同，小明胜，否则小强胜。这个游戏规则公平吗？为什么？

答：不公平。因为抛两枚硬币时，硬币朝上有三种情况：正正、正反、反反，所以两枚硬币朝上的面相同的可能性比两枚硬币不同的面朝上的可能性大。

【诊断】

1.综合思考能力不强。这是一个比较综合的题，它涵盖可能性的大小和一一列举等知识。这里的错误主要在于学生没有用列举的方法，将抛两枚硬币出现的各种情况（两面朝上和一个面朝上、一个面朝下），不遗漏也不重复地一一列举出来，并进行综合思考。

2.学生参与活动不足。在教学“可能性”时，学生实际参与活动是必不可少的一个重要环节。但是由于时间紧加上课堂纪律难以控制，被许多教师所省略，取而代之的是课件操作。由于学生没有亲身体验，从而失去了感悟的过程，影响了学生分析能力的提高。

【对策】

1.分组探索，通过实践操作感悟规则是否公平。这一游戏规则是否公平，可以通过分组探索的方法让学生在小组中活动，从而初步感悟抛两枚硬币，两面朝上和一个面朝上、一个面朝下出现的情况有四种。

2.策略引领，通过一一列举发现规则的公平。教学时引导学生用一一列举的方法完成，让学生明白，如果第一枚硬币正面朝上，有“正正”“正反”两种情况；如果第一枚硬币反面朝上，有“反正”“反反”两种情况。这样抛两枚硬币的结果一共4种情况，其中两枚硬币朝上的面相同的有2种情况，两枚硬币朝上的面不相同的也是2种情况，也就是两枚硬币朝上的面相同的可能性与朝上的面不相同的可能性相等，所以这个游戏规则公平。

【错例】

根据小明对一个月天气情况的描述，绘制条形统计图。

“这个月有30天，晴天经常出现，阴天和雨天出现的少，雪天偶尔出现。”已知晴天的天数超过总天数的一半；阴天天数和雨天天数相等；雨天天数是雪天天数的2.5倍。（均以整天数计算）算出各种天气的天数，再完成下面的条形统计图。

看到这道题，比较多的学生无从下手。

【诊断】

1.思考策略单一。这一题以课本画条形统计图为载体，将统计与可能性的练习综合在一起，只有学生正确算出晴天、阴天、雨天和雪天的天数才能画出条形统计图。由于题中条件较多且比较复杂，学生不知从哪个条件入手分析，当一种解题思路受阻时，不知道从另外的角度思考，因而一时找不到解题思路。

2.推理方法无序。要知道30天中各种天气的天数，其关键要通过题中条件进行推算。由于学生不会根据题中条件进行有序合情推理，加之对相关数学术语理解不透，出现解题困难。

【对策】

1.从梳理数学术语中引导感悟。教材中出现比较多的“可能性”方面的数学术语为“一定”“可能”和“不可能”。所以在复习阶段要让学生正确理解这三个数学术语的意义，同时通过日常生活中的具体例子让学生感悟。教学时还要对于表述可能性大小的特殊词语进行比较，让学生体会其含义。例如“经常出现”“偶尔出现”等。

2.从指导分析中学会合情推理。教学时要根据解决问题的需要，引导学生进行分析、推理与猜测，发展初步的合情推理能力。这题我们可以先用列举的方法，推算出晴天、阴天、雨天和雪天的天数，再绘制条形统计图。我们从“雨天天数是雪天天数的2.5倍（均以整天数计算）”中，可以知道，雪天天数应该是2的倍数。这样并可推得雪天为2天，雨天为2×2.5=5（天），由于阴天天数和雨天天数相等，所以阴天也为5天，晴天为30-2-5-5=18（天）。

【错例】

星期日小芳爸爸带全家开车去游玩，开始以1.2千米/分的速度行驶。20分钟后，汽车发生了故障，爸爸停车进行维修，10分钟后故障排除，车又重新启动，以1千米/分的速度继续前行，又经过50分钟到达了目的地。根据下面的统计图回答问题。

哪一幅表示他们全家的途中运行情况？在正确的图上打“√”。

【诊断】

1.学生综合思考能力不强。这一题与我们平时看到的折线统计图不同，它是表示两种量关系的运行图。选择时，学生只顾及看图，而忽视了通过题中的已知条件先计算再进行综合思考，从而出现错误。从练习中还发现，有的学生看不懂图形，从而出现不会选择的情况。

2.教师缺少全面分析指导。教师在教学时只按一般折线统计图进行指导观察和分析，导致学生没有真正理解图形所表述的意义，因而答题错误。

【对策】

1.对运行图要进行全面剖析。教学时首先要选择一幅图，指导学生看懂运行图的意思。既要看横轴和纵轴所表示的意义，又要分析图中曲线的走向。比如第1幅图，先看横轴，时间为0分时，对应的纵轴上的数为0千米；时间为10分时，对应的纵轴上的数大约为6千米，也就是汽车10分钟大约行了6千米……时间为20分时，对应的纵轴上的数大约为11千米，时间为30分时，对应的纵轴上的数仍大约为11千米，也就是汽车在这10分钟内没有行驶……

2.对有用信息要进行整合思考。指导学生阅读题，并根据问题，选择有用信息进行整合思考：先求出20分钟行的千米数：20×1.2=24（千米），再根据“20分钟后，汽车发生了故障，爸爸停车进行维修，10分钟后故障排除，车又重新启动”和“以1千米/分的速度继续前行，又经过50分钟到达了目的地”进行综合思考，得出第2幅图是正确的运行图。选后再看图检验：从第2幅图中可以看出，汽车20分钟，大约行了24千米，到了第30分钟还是24千米，说明在这10分钟内汽车没有行驶，从题中条件知道，这段时间正好在修车，继续观察，再行驶50分钟，一共行了70千米多一些，与题中已知条件吻合。

（赵云峰）