郑　静　姜　潮　倪冰雨　范　松

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082



随机-认知不确定性的相关性分析模型及可靠性计算方法

郑静姜潮倪冰雨范松

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室,长沙,410082

针对工程中同时存在随机和认知不确定性的问题，提出了一种考虑相关性的概率-证据混合不确定性模型及相应的结构可靠性分析方法。首先引入样本相关系数来描述概率变量之间、证据变量之间以及概率和证据变量之间的相关性，通过一个转换矩阵将原问题中相关的变量转换为相互独立的变量，并构建了一个等效的概率-证据混合可靠性模型。然后将其转化为一系列概率-区间混合可靠性分析模型，并总结了嵌套优化分析迭代格式来求解失效概率区间。最后提供了三个数值算例验证该方法的有效性。

混合可靠性；随机不确定；认知不确定；样本相关系数

0　引言

工程实际中经常存在着与材料特性、边界条件和载荷等有关的各种不确定性[1]，随着对产品可靠性、安全性、稳定性要求的提高，基于不确定性的设计与分析方法得到了广泛的研究与应用。不确定性通常可分为随机不确定性和认知不确定性[2-3]。随机不确定性(又称统计不确定性或客观不确定性)主要描述系统内在的变化，通常用概率模型进行描述，目前已发展出一些成熟的可靠性分析方法，如一次二阶矩(FORM)[4-5]、二次二阶矩(SORM)[6]、蒙特卡罗仿真[7]、基于可靠性的优化设计(RBDO)[8-9]等。认知不确定性(又称主观不确定性)主要源于信息不完备、认识水平局限和知识缺乏，可用非概率模型来进行描述。目前用于解决认知不确定性的常用方法有证据理论(或Dempster-Shafer理论)[10-11]、可能性理论[12]、模糊理论[13]和凸模型理论[14-15]等。

证据理论是一种较为一般的不确定性理论，能灵活处理各类认知不确定性，在某些特殊情况下可等效于概率理论、可能性理论、模糊理论和凸模型理论等。近年来证据理论在结构可靠性分析方面得到了越来越多的关注，也取得了一系列的研究成果。Helton等[16]通过简单的代数函数研究了证据理论在工程可靠性中的应用，并探讨了其优缺点。Tonon[17]通过分析不同参数类型，应用证据理论讨论了在认知不确定的情况下机械系统对于不确定参数的响应。Guo等[18]提出了一种考虑权重平衡的证据理论，用于识别结构多损伤位置。Mourelatos等[19]提出了一种基于证据理论的高效可靠性优化方法(EBDO)。Simon等[20]介绍了贝叶斯网络在可靠性分析中的应用，并利用证据理论来处理可靠性问题中的认知不确定性。Jiang等[21]采用证据变量均匀化的方法，提出了一种高效的可靠性分析方法。Bai等[22]比较了三种代理模型在证据理论可靠性分析中的准确性与稳定性。

在实际工程问题的结构中可能同时存在着随机不确定性和认知不确定性，此时用单一的概率模型或者证据模型来描述所有变量，都会影响结构可靠性分析的精确度，因此建立概率-证据混合不确定性分析模型十分必要。目前，已有少量概率-证据混合可靠性分析的研究成果出现。Du等[23-24]建立了一个统一分析框架来解决随机不确定和认知不确定同时存在的问题，并在此基础上提出了一种灵敏度分析方法。Tao等[25]针对同时包含随机不确定性和认知不确定性的多目标系统提出了一种新型可靠性分析方法。Li等[26]基于概率模型和证据模型，通过构建二级极限状态方程及相应的可靠性分析方法求解了同时包含随机不确定性及认知不确定性结构的失效概率。但是，目前的随机-认知不确定混合可靠性分析模型主要是针对独立变量，而在实际工程问题中，变量之间可能是相关的，且相关性经常对结构的可靠性具有重要影响。直接假设变量之间相互独立则可能会导致较大的计算误差，使得结果不符合结构可靠性设计的高精度要求。因此，本文提出了一种考虑相关变量的混合不确定模型，以求解该类可靠性分析问题。

1　证据理论基本原理

D-S证据理论(Dempster-Shafer theory of evidence/evidential theory)是在Dempster提出的“上下概率”及其合成规则的基础之上，由Shafer进一步发展起来的。建立证据理论的数学模型首先应确立识别框架Θ，将命题的研究转化为对集合的研究。识别框架指人们能认识到的所有可能结果的集合，类似于概率模型中的采样空间，由有限的元素组成。令2Θ表示识别框架Θ的幂集，由Θ包含的所有可能的不同命题组成。证据理论利用基本可信度分配BPA(basic probability assignment)来表示对某一命题A的信任程度。BPA为一个满足如下三条性质的映射M:

M(A)≥0,∀A∈2X

(1)

(2)

M(φ)=0

(3)

其中，M(A)>0的集合A叫作M的焦元。M(A)反映了对命题A本身信度的大小，类似于随机模型中的概率密度函数[19]。当同一识别框架上具有多个不同来源的证据时，需根据Dempster-Shafer合成法则[10](简称D-S合成法则)对证据进行合成以形成对命题的总支持度。

由于信息的缺乏，证据理论无法获得命题A的精确概率，因此使用区间测度来描述命题的真实程度。区间测度下界Pbel(A)和上界Ppl(A)分别称为可信度和似真度，其定义如下：

(4)

(5)

可见，Pbel(A)是完全支持命题A的基本可信度之和，Ppl(A)则是完全或者部分支持命题A的基本可信度之和。这两个测度构成的区间[Pbel(A)，Ppl(A)]称为命题A的信任区间。

2　概率-证据相关性分析模型

在统计理论中，线性相关系数是描述两个随机变量之间相关程度最简单且常用的度量方法[27]。对于随机变量X1和X2，其相关系数ρX1X2定义如下:

(6)

式中，Var(X1)和Var(X2)分别表示变量X1与X2的方差；Cov(X1,X2)表示变量X1和X2的协方差。

相关系数ρX1X2反映了两个变量X1和X2的线性相关程度，对于特定的总体来说，相关系数是客观存在的特定数值。但是，一般很难观测到总体的所有样本，因此人们通常通过已有的样本观测值来估计变量之间的样本相关系数。rX1X2=rX2X1表示X1和X2之间的样本相关系数:

(7)

k=1,2,…,w

(8)

可见，样本相关系数的计算并不依赖于变量的分布形式，因此对于不同的不确定性变量，只要已知样本的信息，就可以得到变量之间的样本相关系数。故随机变量之间、证据变量之间以及随机变量与证据变量之间的相关性都可以用统一的形式来描述。将样本相关系数的概念拓宽到概率-证据混合不确定性问题中，能有效处理多种不确定变量之间的相关性。如果有m维随机向量X=(X1,X2,…,Xm)和n维证据向量Y=(Y1,Y2,…,Yn)，则任意两个变量之间的样本相关系数可由式(7)获得，最终可建立(X,Y)的样本相关系数矩阵如下：

rXY=

(9)

3　结构可靠性分析

假设一结构中含m维随机向量X=(X1,X2,…,Xm)和n维证据向量Y=(Y1,Y2,…,Yn)，考虑如下的极限状态方程:

g=g(X,Y)

(10)

3.1仿射坐标变换

样本相关系数矩阵rXY可进行如下分解

rXY=ATA

(11)

根据Cholesky分解[29]可知，有且仅有唯一的上三角矩阵满足上述分解：

(12)

通过矩阵A将原变量转化为V=(V1,V2,…,Vm+n)，即

V=A(X,Y)

(13)

故

(X,Y)TrXY(X,Y)=(A-1V)TrXY(A-1V)=

VT[(A-1)TrXYA-1]V

(14)

(A-1)TrXYA-1=(A-1)TATAA-1=I

(15)

可见，转换后V=(V1,V2,…,Vm+n)为相互独立的变量，且转换后的变量可由原变量线性表示出:

(16)

(17)

(18)

(19)

3.2失效概率求解

(20)

由全概率公式，结构失效概率可按下式计算[23-24]：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

3.3嵌套优化分析

根据3.2节所述，首先将概率-证据混合可靠性问题转化为一系列概率-区间混合可靠性问题，对于每一个概率-区间混合问题，通过构造一高效的序列迭代格式[30]进行求解，每次迭代依次进行概率分析和区间分析，最终使内外层同时达到稳定解。

U(k+1)=U(k)+αd(k)

(31)

其中，α为迭代步长，由最小化价值函数v确定；d(k)为搜索方向：

(32)

(33)

(34)

其中，h为常数。

(35)

4　算例分析与应用

4.1数学算例

考虑如下的极限状态方程:

(36)

其中，X1、X2为概率变量；Y1为证据变量。变量的分布类型和分布参数如表1所示。

表1　变量的分布类型和分布参数(数学算例)

注:在正态分布中，参数1为均值，参数2为标准差，在证据变量中，参数1为证据变量子区间，参数2为相应的BPA值。

假设通过样本求得的样本相关系数矩阵为

(37)

通过求解不同阈值c下的结果，可以得到对应的Pbel和Ppl，可靠性分析结果如图1与表2所示。从图表中可见，随着阈值的升高，Pbel和Ppl的值从0增加到1.0，且Pbel和Ppl函数曲线均为连续的曲线，而不是仅存在证据变量时所呈现的阶梯曲线，表明由于输入变量中概率变量的存在，可靠性不再发生阶跃突变，而是随c值连续变化。

图1　可靠性分析结果曲线(数学算例)

阈值c436439442445448451可信度0.00000.00000.00000.00010.00140.0095似真度0.00000.00000.00030.00290.01690.0643阈值c454457460463466469可信度0.04160.12630.28280.49660.71600.8800似真度0.17260.35050.57090.77680.91520.9780阈值c472475478481484可信度0.96460.99310.99910.99991.0000似真度0.99630.99961.00001.00001.0000

本算例中分析了三种情况，每种情况中仅有其中一组变量之间存在相关性，而其他变量之间均相互独立。假设样本相关系数在[-1,1]之间变化，得出三组在不同样本相关系数情况下结构失效概率的变化曲线，如图2所示。整体而言，Pbel和Ppl的值随相关系数变化而有明显的变化，可见该数学算例中变量之间的相关性对可靠性分析结果有着较明显的影响。在图2a中，rX1X2从-0.9变化到0.9，Ppl值从0.4306降至0.4153，Pbel值从0.0572降至0.0335，失效概率上下界均没有明显变化。在图2b和图2c中，随着样本相关系数的变化，失效概率有较明显的变化。由图2b可见，随着rX1Y1由-0.9变化到0，Ppl从0.6184降至0.4213，减小了31.9%；随着rX1Y1由0变化到0.9，Ppl从0.4213缓慢至到0.4427，增大了5.1%；Pbel值在不同rX1Y1的情况下有微小的波动。图2c中Ppl值的变化呈U字形；Pbel值在不同rX2Y1的情况下变化较小，基本维持在一个稳定值。从这三个图中可以看到，该算例中不同的变量之间的相关性对可靠性分析结果有不同幅度的影响，且变量X2和Y1之间的相关性对可靠性的结果影响最为显著。

(a)样本相关系数rX1X2与失效概率Pf的关系

(b)样本相关系数rX1Y1与失效概率Pf的关系

(c)样本相关系数rX2Y1与失效概率Pf的关系图2　失效概率与变量之间相关性的关系(数学算例)

4.2悬臂梁

图3　悬臂梁

如图3所示，悬臂梁长度为L，横截面宽度为b，高度为h，悬臂梁的顶端承受作用力Fx和Fy。悬臂梁的几何尺寸L、b、h为概率变量，外力Fx、Fy为证据变量，其分布类型及取值如表3所示。当材料的许用应力σ与悬臂梁固定端处最大应力的差值小于阈值c时结构失效，即

(38)

注:在正态分布中，参数1为均值，参数2为标准差;在证据变量中参数1为证据变量子区间，参数2为相应的BPA值。

在该悬臂梁结构中，假设各个相关变量之间的样本相关系数rbh=0.3,rbL=0.1,rhL=rFxFy=0.2，改变阈值c，得到对应的Pbel和Ppl如图4所示。与图1相比，Pbel函数和Ppl函数曲线之间的间距较小，可见与上一数学算例相比，本算例中认知不确定性对可靠性分析结果的影响较小。

图4　可靠性分析结果曲线(悬臂梁)

另外，为分析变量之间的相关性对结构可靠性的影响，分别考虑了仅有横截面宽度b与高度h之间以及外力Fx与Fy之间存在相关性的两种情况，如图5所示。从图5中的变化曲线可看出，变量之间的相关性对结构可靠性有着一定的影响。图5a中，随着样本相关系数rbh的变化，失效概率Pf的变化趋势呈抛物线状：即Ppl值先减后增，先从0.3403降至0.1574，下降幅度为53.7%，而后又增至0.3181，上升幅度为102.1%；Pbel值亦先增后减，先从0.3142降至0.1182，减小了62.4%，而后又增至0.2901，增大了145.4%。图5b中，Ppl及Pbel的变化趋势呈X形，失效概率的变化微小，其波动值最大分别为0.0207与0.0158。在该算例中，结构的失效概率随变量之间相关性的不同而有所不同，且宽度b与高度h之间的相关性对结构可靠性的影响较大。

(a)样本相关系数rbh与失效概率Pf的关系

(b)样本相关系数rFxFy与失效概率Pf的关系图5　失效概率与变量之间相关性的关系(悬臂梁)

4.3转动导杆机构

如图6所示的转动导杆机构常常用于结构机构中，在高速单张纸印刷机的输纸系统、回转柱塞泵、叶片泵和旋转式发动机等机器上都有应用，在实际工况中，对转动导杆机构进行可靠性分析有重要的工程意义。在转动导杆机构中，构成移动副的构件1和2的长度是不定的，曲柄3和机架4的长度可以测量。转动导杆机构实现变速功能的机构是主动件做匀速转动，从动件做变速转动，从而满足特定的工艺动作要求。主动件曲柄3绕轴A的整周匀速转动，通过转动导杆1和连杆5驱动切削头6上固定的插刀，完成往复切削运动(切削行程较慢，回程较快)。转动导杆1的BE段长度为l1，曲柄3的长度为l3，机架4的长度为l4，连杆5为空心圆管，其长度为l5，偏心距的长度为e，杆件材料的弹性模量为E，屈服强度σ=350 MPa，在做变速运动过程中滑块6受到外部集中力F=250 kN作用，具体输入参数如表4所示。滑块与地面之间的摩擦因数μ=0.018。

图6　转动导杆机构

不确定变量参数1参数2分布类型l1(mm)1001正态l5(mm)3001正态d1(mm)300.5正态d2(mm)500.5正态e(mm)[100,120][120,140][140,150]0.20.50.3证据

注:在正态分布中，参数1为均值，参数2为标准差;在证据变量中参数1为证据变量子区间，参数2为相应的BPA值。

主动件曲柄3绕轴A的整周匀速转动，当转动导杆1和连杆5重合时，连杆5所受力最大，此时对应的应力为最大值：

(39)

考虑空心连杆5的强度失效，其极限状态方程可以表示为

G=σ-σmax

(40)

图7　可靠性分析结果曲线(转动导杆机构)

在该转动导杆算例中，假设变量l1与l5以及d1与d2的样本相关系数rl1l5= 0.1,rd1d2= 0.2，而其他变量之间均相互独立，求得不同阈值c对应的Pbel和Ppl，如图7所示。图中Pbel和Ppl函数曲线之间存有较大的间距，说明该算例中认知不确定对结构可靠性影响较大。

为分析变量之间相关性对该转动导杆结构的影响，现分别考虑转动导杆l1与连杆l5以及连杆l5与偏心距e之间具有相关性的两种情况，失效概率随样本相关系数的变化趋势如图8所示。图8a中失效概率Pf值在rl1l5变化过程中基本保持不变，波动值不大于0.0003。图8b中失效概率Pf值的变化相对较明显：随着rl5e从-0.9变化到0.9，Ppl值总体呈增长趋势，且增长的速率由慢变快；Pbel值也缓慢从0.0066增至0.0233。

(a)样本相关系数rl1l5与失效概率Pf的关系

(b)样本相关系数rl5e与失效概率Pf的关系图8　失效概率与变量之间相关性的关系(转动导杆机构)

5　结论

本文针对同时存在随机和认知不确定性的问题，提出了一种考虑相关性的概率-证据混合不确定性模型及相应的结构可靠性分析方法。该方法通过引进样本相关系数定义变量之间的相关性，并进行仿射变换，将原问题等效转换为独立变量的可靠性问题进行求解。三个数值算例验证了本文提出的可靠性分析方法能有效处理同时存在随机和认知不确定性的问题。算例的结果分析表明，在很多情况下，变量之间的相关性对可靠性有较明显的影响，且不同变量之间的相关性对可靠性结果的影响不同。因此，为了提高随机-认知混合可靠性分析的精度，考虑变量之间的相关性非常重要。

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(编辑王旻玥)

An Aleatory and Epistemic Mixed Uncertainty Model Considering Parametric Correlation and Its Reliability Analysis

Zheng JingJiang ChaoNi BingyuFan Song

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University,Changsha,410082

A probability and evidence hybrid uncertainty model considering parametric correlation was proposed and a corresponding reliability analysis method for problems with both aleatory and epistemic uncertainties was studied.Firstly,sample correlation coefficients were introduced to describe the correlation among probability variables,evidence variables as well as probability and evidence variables. Correlated parameters were transformed into independent ones through a matrix transformation and an equivalent probability-evidence hybrid model was built. Then the hybrid model was transformed into a series of probability-interval models in subspaces and a nested optimization analysis iterative format was summarized to obtain the failure probability interval. At last, three numerical examples were provided to verify the validity of the proposed method.

hybrid reliability;aleatory uncertainty;epistemic uncertainty;sample correlation coefficient

2015-03-18

国家自然科学基金资助项目(11172096，51222502)；霍英东基金资助项目(131005)；湖南省杰出青年基金资助项目(14JJ1016)

TB114.3DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.013

郑静，女，1990年生。湖南大学机械与运载工程学院博士研究生。主要研究方向为结构可靠性设计。姜潮，男，1978年生。湖南大学机械与运载工程学院教授、博士研究生导师。倪冰雨，男，1989年生。湖南大学机械与运载工程学院博士研究生。范松，男，1989年生。湖南大学机械与运载工程学院硕士研究生。