詹振飞　杨俊祺　舒雅静　杨仁杰

1.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆，4000442.美国福特汽车研究院被动安全部门，密西根州，美国，48124



面向可靠性设计优化的响应面偏差修正方法

詹振飞1杨俊祺1舒雅静1杨仁杰2

1.重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆，4000442.美国福特汽车研究院被动安全部门，密西根州，美国，48124

在基于仿真的汽车设计中，针对响应面模型普遍存在的精度不高的问题，研究了基于贝叶斯推断的模型外推预测方法，提出了模型不确定性下基于偏差修正的模型外推及可靠性设计优化方法，并通过一个汽车轻量化设计实例验证了所提方法的有效性。

响应面；偏差修正；可靠性设计优化；模型外推

0　引言

在基于仿真的汽车设计过程中，不考虑设计变量的不确定性将直接影响设计性能指标的可靠性，从而不能满足实际使用要求。因此，考虑仿真模型固有不确定性的可靠性设计技术至关重要。可靠性设计优化(reliability-based design optimization, RBDO)[1-3]方法是一种在参数化设计过程中考虑设计变量等不确定性因素及其对目标和约束函数影响的一种设计优化技术。可靠性设计优化一般包括三方面内容：质量、成本与可靠度。考虑各种不确定性因素对性能参数的影响，将可靠性设计优化方法应用到汽车设计过程中，既能保证产品的经济效益，又确保产品实际运行中的安全可靠性。

在实际的优化设计过程中，基于仿真模型的优化迭代是优化过程中的核心步骤。随着有限元(finite element, FE)技术的迅速发展，基于高精度FE模型的设计成为各大汽车企业解决复杂设计问题的一种有效工具。然而，即使计算机运算能力不断增强，通过高精度有限元模型进行优化仍然会花费大量时间。此外，RBDO过程包含两层嵌套循环，优化迭代需要同时在设计域以及设计变量不确定性空间中进行。将FE模型用于需要成千上万次迭代的RBDO中显得不切实际。

为了缩短开发时间，基于数学表达式的响应面模型(response surface model,RSM)常被用于替代要求大量计算时间的有限元模型。多年来，学者们开发和改进了多种RSM[4-6]。然而，无论采用哪种RSM建模技术，在实际FE模型和RSM之间始终会有偏差。特别是当RSM模型用于外推来预测新设计时，偏差的影响尤其显著。

模型更新方法不但可以量化数据不确定性大小，而且可以进一步提高模型的预测能力。目前该方法在模型验证领域取得较快发展，已成为国内外研究的前沿和热点[7-17]。

目前，大多传统基于RSM的RBDO未考虑来自于数值模型的不确定性，该RBDO过程在RSM能精确预测高精度FE模型输出的假设下进行。而在实际运用中，若模型精度不高且受大量不确定性影响时，RBDO将难以得到可靠的优化解。因此，在执行RBDO寻优前运用模型更新技术对模型偏差进行修正至关重要。

本文首先介绍基于贝叶斯推理的偏差修正方法，然后提出一种基于响应面模型偏差修正的RBDO流程，最后通过一个汽车轻量化设计实例说明所提方法的有效性。

1　基于贝叶斯推理的偏差修正

Zhan等[11,18]综合贝叶斯推断理论的优势和响应面模型的缺陷，提出了一种基于贝叶斯推理的模型外推预测方法。首先根据设计空间中的试验设计(design of experiment，DOE)矩阵运行相应的CAE仿真及响应面仿真，二者之间的差作为偏差先验信息。得到先验分布后，基于贝叶斯推理预测偏差超参数(hyper-parameter)的后验分布。

令x表示设计变量，Yf和Ym分别代表FE和RSM模型输出。ε表示随机误差，δ表示响应面模型与FE仿真模型间的偏差。因此输出的“真实值”，即Yture，等于FE仿真输出值减去随机误差，同时也等于响应面模型预测值加上模型偏差，表达式如下：

Ytrue=Yf(x)-ε(x)=Ym(x)+δ(x)

(1)

因此， Yf(x) 和Ym(x)之间的关系可进一步描述为

Yf(x)=Ym(x)+δ(x)+ε(x)

(2)

在式(2)中，假设偏差τ(x)=δ(x)+ε(x)服从一个已知方差的正态分布:

(3)

θ～N(μ,σ2)

(4)

对偏差均值进行正态分布的假设是出于两方面的考虑。一方面，正态分布是一种常见且合理的偏差假设。特别是当样本数量足以满足大数定律等要求时，观测量常近似于正态分布。另一方面，在贝叶斯理论中，当后验分布p(θ|x)与先验分布p(θ)为相同分布时，则称先验分布与似然函数是共轭的，而正态分布是一种常见的有共轭性质的分布类型。在该假设下，贝叶斯推断过程难度将极大降低。因此，不论从合理性角度还是推导难度角度考虑，正态分布都是一种理想的假设。

根据贝叶斯理论，后验分布等于似然函数与先验分布p(θ)的乘积除以p(x)的全概率，表达式如下：

(5)

式(5)中分母全概率可写作：

∫p(x|θ)p(θ)dθ=

(6)

其中，n表示在每一个设计点处的样本数。从而根据共轭性质，式(5)可进一步表示为一个正态分布，表达式为

(7)

因此，θ后验分布可表示为

(8)

基于所得每一个设计点处的后验偏差分布，分别为预测偏差的均值和标准差建立一个响应面。得到外推域新设计的响应面预测结果后，根据均值和方差响应面计算偏差预测结果的置信度区间。结合原始低精度响应面预测结果以及推断所得的偏差预测区间，响应面的预测能力得以提高。基于所得结果，决策者可以决定接受或者拒绝预测结果。如果接受则进行进一步的可靠性设计优化。若预测结果被拒绝，则增加DOE样本点重复此过程，直到得到好的预测结果[11]。

2　参数和模型不确定性下的RBDO

RBDO在考虑设计变量不确定性下获取最优设计方面有其独特优势，因此在不确定性下优化设计中被广泛应用。典型的RBDO数学公式定义如下：

min E[f0(X)]

s.t. P(fi(X)≤0)≥ai,i=1,2,…,k

其中，X为包含不确定性的输入随机变量，E[·]代表方程的期望，P(·)为概率，fi(x)为目标函数，ai为可靠度。

然而，基于RSM的RBDO需要考虑来自于数值模型的不确定性，对模型偏差进行修正，以得到可靠的优化解。图1为综合考虑变量和模型不确定性的可靠性优化设计示意图。基于偏差修正响应面的RBDO流程始于对RBDO问题的定义，随后构建DOE矩阵，基于贝叶斯推理构建的偏差模型用以修正原始RSM。然后，将修正的RSM用于RBDO优化的迭代寻优流程中，以求得到可靠优化解。最后，基于FE模型进行若干次蒙特卡罗仿真(Monte Carlo simulation，MCS)以验证优化解的可靠性。如果所得优化解满足各性能指标约束可靠度要求，则此寻优过程完成，否则改善DOE矩阵，反复以上过程直到得到满意结果。

图1　可靠性优化设计示意图

3　实例分析：汽车前部结构设计

所提方法被应用于一个需满足碰撞安全性能的汽车轻量化设计实例之中。汽车轻量化设计被视为解决目前严峻能源危机及环境污染的有效方案之一。然而，轻量化设计绝不仅仅是汽车重量的减轻，它是一个系统性的多学科优化问题。在车重减轻的同时需要保证其他性能，如汽车的耐撞性以及NVH(noise，vibration and harshness)性能等，不会恶化甚至得到一定的提升[19]。目前，通过两种主要途径可以实现汽车的轻量化设计。其一是轻量化材料的应用。然而轻质材料的成本以及工艺缺陷是阻碍其发展的最大障碍。另一种途径是汽车结构的优化，通过零部件的尺寸优化最终实现车重减轻的目的。本文即是将所提优化流程运用于汽车前部结构的优化中，在保证汽车耐撞性的同时实现轻量化设计。在此，美国NCAC(national crash analysis center)的Ford Taurus模型用于验证本文所提方法的有效性。

正面碰撞是汽车耐撞性评估中最典型的一种碰撞方式。依据美国新车碰撞评估规程(new car assessment program，NCAP)标准，汽车以56.6 km/h的初始速度与刚性墙发生100%正面碰撞。该正碰模型已通过实车碰撞数据与仿真输出间的比较得以验证。图2所示为整车碰撞试验及CAE仿真变形情况。从比较结果可以看出有限元仿真与物理试验变形基本一致。因此，该FE模型在优化设计中被视作实车试验的高精度替代模型，以在其基础上进行验证计算。

(a)实车

(b)有限元模型图2　实车与有限元模型碰撞验证试验对比

该模型在拥有32个CPU的高性能计算机上运算一次大约需要5 h。因此，虽然该FE模型能够保证在优化设计中响应量的预测精度，然而在成千上万次的优化迭代中基于FE模型寻优显得不切实际。针对这个问题，所提基于偏差修正响应面的RBDO流程被应用在轻量化设计中。

3.1变量描述及DOE

在正碰耐撞性设计中，车身前部结构的吸能性能直接影响碰撞过程中乘员舱的完整性。合理的车身前部结构设计能够避免因乘员舱变形过大而对乘员产生严重的损伤。图3所示为选取的车身前部典型构件，将其8个厚度参量作为研究对象。设计变量的范围以及初始设计值如表1所示。

1.发动机舱内侧边梁　2.发动机舱左侧外边梁　3.发动机舱右侧外边梁　4.发动机舱边梁加强件前端　5.发动机舱边梁加强件后端　6.副框架内臂　7.副框架前端　8.前指梁图3　车身前部典型构件

表1　设计变量的范围及初始设计　mm

根据变量的变化范围以及变量数目，在设计空间中通过均匀拉丁超立方试验设计法生成了60组DOE[12,20]。根据生成的60组DOE对FE模型的k文件中对应的关键字卡片 (*SECTION_SHELL_TITLE) 中的厚度进行修改。生成的新k文件被提交至高性能运算中心计算。在数据后处理过程中，提取Chest G(假人胸部加速度)以及Crush Distance (整车碰撞有效距离)作为正碰性能响应指标。所提取的数据中前50组DOE样本用于构建RSM，剩下的10组用于评估外推设计预测精度。

3.2基于修正模型的RBDO

该设计优化的目标是在满足Chest G(CG)和Crush Distance(CD)的可靠度指标的前提下，通过结构参数的优化减轻车身重量。RBDO的数学表达式如下：

(9)

其中，Uxi和Lxi是设计变量的上下界，Weight是所设计的前部结构总重量。CG和CD的设计目标界限值分别为60g (g为重力加速度)和740 mm，可靠度为98%。根据式(9)可以看出，Weight、CG和CD三个响应量均通过多项式响应面建模技术来近似表示设计变量与响应量间的拟合关系。根据所提方法建立的优化流程如图4所示。为了比较，分别使用两种方法进行优化：一种是传统RBDO，即采用低精度的原始多项式响应面模型进行优化迭代，优化过程中只考虑设计变量的不确定性；另一种是基于修正响应面模型的RBDO，兼顾设计变量的扰动以及响应面模型的固有偏差。

3.3结果与讨论

通过多目标遗传算法(multi-objective genetic algorithm, MOGA),基于未修正模型的修正模型的RBDO分别在第977次和第1189次迭代得到第一组可靠优化解。图5为以CG为收敛参考指标的迭代图。由图可知， 基于未修正和修正RSM模型的优化几乎同时得到相对稳定的收敛值，收敛效率差别不大。然而，基于未修正模型的优化解即使在达到收敛条件后仍然存在较为剧烈的波动。原始模型的过拟合与欠拟合均能导致这样的结果。而修正后的模型则呈现出更好的收敛稳定性。由两种模型所得最终可靠优化解如表2所示。

图4　汽车前部构件参数RBDO流程

图5　基于修正和未修正模型的优化迭代

设计变量初始设计RBDO(未修正偏差)RBDO(修正偏差)x1(mm)1.901.691.89x2(mm)1.911.831.83x3(mm)2.512.172.11x4(mm)2.402.542.04x5(mm)2.002.122.06x6(mm)1.802.482.51x7(mm)1.802.092.05x8(mm)1.201.721.70weight(kg)51.9948.9549.40

可以看出，与初始设计相比，基于未修正模型和修正模型的RBDO均得到了轻于51.99 kg的构件，分别为48.95 kg和49.40 kg。若单考虑减重效果，基于未修正模型的RBDO得到的优化解对应的构件重量甚至要低于基于修正模型RBDO的优化解。然而这并不能说明其优化解满足所要求的可靠性。

为了验证优化解是否达到可靠性要求，在所得两组优化解的基础上，按优化解名义值为均值以及5%均值为标准差的正态分布各生成10组蒙特卡罗样本，并运行高精度的FE仿真模型计算每个样本点相应的CG和CD值。如图6所示，点和星号代表了20个样本点的仿真结果，图中的概率密度函数(PDF)为优化迭代中通过修正响应面预测所得优化解的不确定性信息，是设计变量不确定性通过响应面传递的结果。图6a和图6b分别显示了CG和CD基于未修正响应面模型和修正模型的RBDO优化解。

(a)CG

(b)CD图6　基于未修正模型和修正模型的RBDO优化解可靠性验证

从图6可以看到，由于未修正偏差的RSM的预测能力有限，CG和CD的预测概率密度分布与10个FE仿真结果偏离过大，其中6个CG的FE仿真以及5个CD的仿真超出了预测分布。此外，CG的10个设计样本中有1个超出了约束范围，而CD有4个在约束范围之外。可以看到，两个性能响应指标的可靠度都未达到98%。不管是CG还是CD，都是汽车耐撞性评价的重要指标。为了达到相应法规(如NCAP等)的要求，CG和CD的值不仅需要在安全裕度以内，而且还要保证对变量的微小变动不敏感。在实际耐撞性评估试验中，若该性能指标受环境、材料和工艺等的不确定性因素影响过大，将直接导致耐撞性评估结果不理想，产生巨大的经济损失。因此，基于未修正模型的RBDO设计无疑是不可行的。在图6所示基于修正模型的优化解验证中，10个MC样本的FE仿真所得结果与随机偏差修正的RSM相吻合，所有的设计都在CG和CD的正态分布中。两约束的可靠度均达到设计目标。虽然其减重效果略逊于基于未修正RBDO的优化解，但性能指标的可靠度显示出基于所提方法进行优化的显著优势。

4　结束语

本文介绍了一种基于统计偏差修正的模型外推预测方法，并将其应用到考虑模型和设计变量不确定性的可靠性设计优化流程中。首先运用贝叶斯推理量化模型不确定性,从而修正原始低精度RSM的偏差。然后将修正后的模型用于RBDO过程以寻得可靠的优化解。所提方法通过一个汽车轻量化设计得到阐述。在这个轻量化设计中，考虑整车正面碰撞中的典型耐撞性指标CG和CD的安全约束，使优化设计解满足设计的可靠性。经对比，基于修正响应面模型的RBDO比传统的RBDO能保证在实现轻量化的前提下得到可靠度更高的解。

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(编辑郭伟)

A Bias Corrected Response Surface Method and Its Applications to Reliability-based Design Optimization

Zhan Zhenfei1Yang Junqi1Shu Yajing1Yang Ren-Jye2

1.The State Key Laboratory of Mechanical Transmission,Chongqing University,Chongqing,400044 2.Passive Safety,Research and Innovation Center,Ford Motor Company,Dearborn,MI,USA,48124

In simulation-based vehicle design, the Bayesian inference based model extrapolation method was further investigated,that was previously proposed by the authors, and a systematic bias corrected model extrapolation and RBDO under uncertainty was introduced. A real-world lightweight design problem of vehicle was employed to demonstrate the validity of the proposed method.

response surface；bias-correction; reliability-based design optimization(RBDO); model extrapolation

2015-06-09

国家自然科学基金资助项目(51405041)；汽车噪声振动和安全技术国家重点实验室开放课题(NVHSKL-201412)；上海交通大学机械系统与振动国家实验室开放课题(MSV-2015-11)

U461.7DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.07.001

詹振飞，男，1983年生。重庆大学机械传动国家重点实验室研究员、博士研究生导师。主要研究方向为模型验证理论方法、汽车被动安全、多学科优化和稳健设计等。发表论文40余篇。杨俊祺，男，1990年生。重庆大学机械传动国家重点实验室博士研究生。舒雅静，女，1993年生。重庆大学机械传动国家重点实验室硕士研究生。杨仁杰，男，1952年生。美国福特汽车研究院被动安全部门首席研究员。