陈小丽

摘 要： 本文紧扣住数形结合思想的应用这条主线，结合教学实践，总结了数形结合的相关应用及应用技巧，阐述了运用数形结合思想解决一些抽象数学问题.

关键词： 中学数学 数形结合 研究图像 几何方法

数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题都能简化，且解法简单，让人对所涉及的数学知识有更深的认识和理解.恩格斯曾说：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其几何意义又分析其代数意义，以形助数，以数辅形，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简.

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透.在近年高考试题中，若能巧妙运用数形结合的思想方法解决一些复杂的数学问题，可收到意想不到之效.因此掌握了数形结合思想方法，不仅能提高数形转化的能力，还可以提高思维迁移能力，下文结合例子说明数形结合思想在解题中的灵活应用.

一、已知集合关系利用数轴求参数的范围

这是数形结合思想在集合运算中的渗透，解决此类题目的关键在于准确利用数轴表示相关的集合，要根据端点值的取舍情况正确选用实心点或空心点标注对应集合，从而求出参数的范围.要尽量避免因区间端点值的取舍错误造成参数取值范围的漏解或增解的情况.

例1：已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且A∪B=A，求实数m的取值范围.

分析：由A∪B=A得B？哿A，则有B=？覫或B≠？覫，因此对集合B而言要分类讨论.针对每一类情况，在讨论参数范围时我们均需要采用数轴这个工具实现对集合的准确把握，所以本道题同时渗透进了数形结合思想.

解答：∵A∪B=A，∴B？哿A，由条件知A≠？覫，∴B=？覫或B≠？覫

当B=？覫时，得m+1>2m-1，解得m<2.

当B≠？覫时，观察下图，由数轴可得m+1≤2m-1-2≤m+12m-1≤5，解得2≤m≤3.

综上所述，m的取值范围是m≤3.

总结：已知集合关系求参数范围问题的基本步骤：第一步一般是解不等式；第二步是画出数轴，根据数轴列出不等式（组）；第三步是解不等式求出所求参数的范围.

二、利用数形结合思想求函数最值

三、利用数形结合思想求与向量相关的最值问题

平面向量本身兼具“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量最值、范围问题的基本思想是数形结合.这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如一个向量模的最值、两个向量夹角的范围等.一般可通过建系或者向量之间的转化两种方法来实现.

数形结合的知识点出现在高中数学知识的方方面面上，其类型和方法还有很多，这里不再一一列举.数形结合思想的本质是将图像作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，充分体现了数形结合的简捷性和灵活性.这就要求在平时教学中要教会学生由数思形，以形助数.适时运用数形结合的思想，不仅可将复杂题目简单化，更能帮助学生不断提高解题的灵活性与准确性.