韩阿丽，游泰杰

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳　550001)



半群Rn的主因子的极大正则子半群

韩阿丽，游泰杰

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳550001)

摘要：设Singn是Xn上的奇异变换半群。令(∀x∈im(α))}，则Rn是半群Singn的子半群。对任意的n≥4，研究了半群Rn的主因子的极大正则子半群的完全分类。

关键词：变换半群；主因子；极大正则子半群

0引言

设Singn是Xn={1,2,…,n}上的奇异变换半群，令

设S是半群，a∈S,由元素a生成的主理想S1aS1记为J(a)，即J(a)=S1aS1。用Ja表示包含a的J-类。定义I(a)={b∈J(a):J(a)≠J(b)}。如果I(a)为空集，那么Ja=J(a)。此时，记K(S)=Ja；如果I(a)非空，那么I(a)是S的理想。我们称K(S)，J(a)/I(a)(a∈S)为半群S的主因子。

在半群代数理论的研究中，刻画一个半群的极大子半群的结构和分类一直是比较活跃的课题之一[1-8]。自20世纪70年代以来，许多学者研究了变换半群的具有某种性质的极大子半群。特别地，2002年，游泰杰[3]得到了全变换半群和部分变换半群的理想的极大正则子半群。2011年，Dimitrova与Koppitz[5]得到了保序变换半群On和保序或反保序变换半群ODn的理想的极大正则子半群的完全分类。2012年，Dimitrova等人[6]得到了方向保序变换半群OPn和方向保序或反方向保序变换半群ORn的理想的极大子半群的完全分类。1998年，Umar[8]研究了半群Rn的格林关系及幂等元深度。本文将考虑半群Rn的主因子，得到了主因子的极大正则子半群的完全分类。

设U是半群S的任意子集，用E(U)表示U中所有幂等元构成的集合。对任意的a∈S,通常用V(a)表示a在S中的所有逆元构成的集合。Ra，La，Ha分别表示a所在的R-类，L-类，H-类。本文未定义的术语及记法参考文献[9]。

1主要结果及证明

注1任取α∈Rn，不妨设

以下分3种情形讨论：β∈I。

δ=

再由β的任意性知，R(n,r)⊆I。因此，I=R(n,r)。

ⅰ)J(α)=R(n,r)

由引理3可知，若把Rn的主因子记为Pr，则

其中R(n,r)/R(n,r-1)是Rn的Rees商半群。为方便起见，当r≥2时，可将Pr视为Jr∪{0}，即Pr=Jr∪{0}，其乘法定义为：

Pr对上述乘法作为一个完全0-单半群。

为了方便起见，引入众所周知的结果。

引理4设x,y是完全0-单半群中两个非零元，则xy≠0当且仅当Lx∩Ry中含有幂等元。此时，xy∈Ly∩Rx。

引理5设S是一个完全0-单半群，x,y是完全0-单半群中两个非零元，则

证明不妨设

证明设

引理8设S是正则子半群，a∈S，则R(α)∩E(S)≠φ,且L(α)∩E(S)≠φ。

证明参见文献[9]中的命题2.3.1和命题2.3.2。

证明首先，证明Mα是Pr的子半群。由引理5知，对任意β,γ∈Jr，有βγRβ或βγ=0。因此，Mα是Pr的子半群。

其次，证明Mα是正则的。对任意的β∈JrRα，由引理9可知，存在β1,β2∈V(β)∩Jr，使得(β1,β2)∉R。因此β1,β2必有一个属于JrRα，即JrRα中必有β的逆元，从而β是正则的。因此，Mα是正则半群。

证明类似于引理10的证明。

证明见文献[8]中定理2.1。

证明显然〈E(Pr)〉⊆Pr。任取α∈Pr=Jr∪{0}，若α=0，则显然α是幂等元，即α2=α，于是α∈E(Pr)⊆〈E(Pr)〉；若α∈Jr，则由引理12可知，α∈〈E(Jr)〉⊆〈E(Pr)〉。由α的任意性可得，Pr⊆〈E(Pr)〉。因此Pr=〈E(Pr)〉。

本文主要结论为：

1)Mα={0}∪(JrRα)，其中α∈Jr；

2)Nα={0}∪(JrLα)，其中α∈Jr。

证明引理10,11可知，Mα和Nα是Pr的极大正则子半群。我们用反证法证明Pr的极大正则子半群仅有定理1中的形式。假设S是Pr的极大正则子半群，但不是定理1中的形式，则对任意α∈Jr，有S∩Lα≠φ,且S∩Rα≠φ(否则，存在α∈Jr，使得Lα⊆PrS或Rα⊆PrS，于是Mα或Nα是Pr的包含S的正则子半群，由S的极大性可得，S=Mα或S=Nα，与S不是定理1中的形式矛盾)。

下面证明E(Jr)⊆E(S)。假设E(Jr)E(S)≠φ。任意取e∈E(Jr)E(S)⊆Jr，则S∩Le≠φ，且S∩Re≠φ。不妨设β∈S∩Le，γ∈S∩Re，则由S是正则半群及引理8可知，Lβ∩E(S)≠φ，Rγ∩E(S)≠φ。任意取f∈Lβ∩E(S)，g∈Rγ∩E(S)，则由引理5可知，fg∈S∩Rf∩Lg(因为e∈Le∩Re=Lβ∩Rγ=Lf∩Rg)。注意到f,g∈E(S)，fg∈S，fRfgLg。又由Miller-Clifford的定理可知，存在δ∈V(fg)，使得δ∈S∩Lf∩Rg=S∩Lβ∩Rγ=S∩Le∩Re，于是δ是群He中元，从而存在k∈N，使e=δk。因此，e=δk∈S，与e∈E(Jr)E(S)矛盾。因此，E(Jr)⊆E(S)⊆S。注意到0∈S(否则，S∪{0}是包含S的Pr的极大正则子半群，与S是极大正则子半群矛盾)。由引理13可知，Pr=〈Pr〉=〈E(Jr)∪{0}〉⊆S，而S⊆Pr，因此，S=Pr，与假设S是Pr的极大正则子半群矛盾。

参考文献：

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[2]YANGXiuliang.Aclassificationofmaximalinversesubsemigroupsoffinitesymmetricinversesemigroups[J].Communicationinalgebra,1999,27(8):4089-4096.

[3]YOUTJ.Maximalregularsubsemigroupsofcertainsemigroupsoftransformations[J].SemigroupForum,2002,64(3):391-396.

[4]ZHAOP.Aclassificationofmaximalidempotent-generatedsubsemigroupsofsingularOrientation-preservingtransformationsemigroups[J].SemigroupForum,2009,79(2):377-384.

[5]DIMITROVAI,KOPPITZJ.Onthemaximalregularsubsemigroupsofidealsoforder-preservingororder-reversingtransformations[J].SemigroupForum,2011,82(1):172-180.

[6]DIMITROVAI,FERNANDESVH,KOPPITZJ.Themaximalsubsemigroupsofsemigroupsoftransformationspreservingorreversingtheorientationonafinitechain[J].PublicationsMathematicalDebrecen,2012,81(1):11-30.

[7]ZHAOP,HUHB,YOUTJ.Anoteonmaximalregularsubsemigroupsoftransformationsemigroups[J].SemigroupForum,2014,88(2):324-334.

[8]UMARA.Enumerationofcertainfinitesemigroupsoftransformations[J].DiscreteMathematics,1998,189(1):291-297.

[9]HOWIEJM.Fundamentalsofsemigrouptheory[M].Oxford:OxfordUniversitypress,1995.

文章编号：1004—5570(2016)03-0067-04

收稿日期：2016-04-10

基金项目：国家自然科学基金项目(批准号11461014)

作者简介：韩阿丽(1991-)，女，硕士研究生，研究方向：半群及编码理论，E-mail:1547662390@qq.com.

中图分类号：O152.7

文献标识码：A

Maximal regular subsemigroups of principal factors of the semigroupRn

HAN Ali,YOU Taijie

(School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal University, Guiyang, Guizhou 550001, China)

Abstract:Let Singn be the semigroup of all singular selfmaps on Xn, and let (∀x∈im(α))}, it is easy to show that Rn is a subsemigroup of Singn. For arbitrary n≥4, we have studied that the classification completely of maximal regular subsemigroups of principal factors of semigroup Rn.

Key words:transformation semigroup; principal factor; maximal regular subsemigroup