金久林,游泰杰

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳　550001)



半群ΟCΚn的极大子半群

金久林,游泰杰

(贵州师范大学 数学与计算机科学学院,贵州 贵阳550001)

摘要：设自然数n≥5,Xn={1,2,…,n}并赋予自然数序, On是Xn上的保序变换半群, OCKn是由On中核具有连续横截面的元所构成的子半群, 得到了OCKn的极大子半群的结构与完全分类。

关键词：变换半群; 保序; 连续横截面; 极大子半群

0引言

设Xn={1,2,…,n}(n≥5)并赋予自然数序,Singn是Xn上的奇异变换半群。设α∈Singn, 若对任意x,y∈Xn,x≤y⟹xα≤yα, 则称α是保序的, Xn上保序全变换(不含双射)的集合记作On,它是Singn的正则子半群。2010年, 徐波在文献[1]中提出了保序压缩变换半群, 并得到了它的秩;现在, 对保序压缩变换半群的研究, 已经取得了许多成果(譬如文献[1-6])。最近, 高荣海在文献[7]中提出了与保序压缩变换半群具有某种“对偶性”的变换所构成的半群, 即核具有连续横截面的保序变换, 由Xn上核具有连续横截面的保序变换构成的子半群, 记作OCKn，这是On的一类新的子半群。变换半群的具有某种性质的极大子半群的研究一直都是半群理论研究中的热点之一[8-14]。本文将在文献[7]基础上考虑OCKn的极大子半群, 得到了它的极大子半群的完全分类。

1准备

设α∈OCKn, 用im α表示α的象集,kerα表示Xn上的等价关系{(x,y)∈ Xn×Xn:xα=yα}。

为叙述上方便, 在OCKn上引入下面的二元关系, 对任意α,β∈OCKn, 定义：

αL*β⟺imα=imβ

αR*β⟺kerα=kerβ

αJ*β⟺|imα|=|imβ|

则L*,R*,J*都是OCKn上的等价关系, 易见L*⊆J*,R*⊆J*。 对1≤r≤n-1, 记

为了方便, 对任意k∈Xn令

定义设S是半群ΟCΚn的真子半群, 若S满足：对任意α∈ΟCΚnS, 有

〈S∪{α}〉=OCKn

则称S是ΟCΚn的极大子半群。

2主要结果及证明

定理设自然数n≥5, 则ΟCΚn的极大子半群有且只有如下形式：