方　贝，刘元会，郭建青



二维河流水质模型方程解析解参数灵敏度分析

方贝a，刘元会a，郭建青b

（长安大学a．理学院；b．环境科学与工程学院，西安710051）

利用局部灵敏度分析方法和Morris全局灵敏度分析方法，分析了二维瞬时投源河流水质模型方程解析解输入参数的误差对计算结果的影响程度，分别对模型方程输入参数的灵敏度进行计算并比较，讨论了单参数及多个参数相互作用下的系统扰动对污染物浓度计算结果的影响；绘制了局部灵敏度分析法下各参数的灵敏度变化曲线。灵敏度分析结果显示：二维河流水质模型方程解析解对不同参数的敏感程度不同，其中河流的平均流速最为灵敏，而污水排放点的位置坐标的灵敏性最弱；各参数间存在着相互作用，各参数灵敏度大小顺序为|Su|＞|SDy|＞|Sy0|＞|Sx0|，但定量地分析各参数的灵敏度值却是不同的，Morris全局灵敏度分析方法综合考虑了多个参数间的相互作用，故其结果较局部灵敏度法更为可靠，更能反映实际情况。

局部灵敏度分析；全局灵敏度分析；二维河流水质模型；解析解；相对误差；灵敏度

doi：10．11988/ckyyb．20150237

1　研究背景

利用二维河流水质模型方程［1］计算瞬时投源情况下不可降解污染物在投源下游断面的污染物浓度值时，总会出现不确定性因素［2］，导致模型方程的输入参数存在一定的误差，从而由模型方程计算出的污染物浓度值也会存在一定的误差。为提高计算结果精度，有必要对模型方程解析解中参数灵敏度进行分析。K．Srivastava等［3-4］曾对地下水线性和非线性流的不确定性进行了讨论，应用灵敏度分析方法对参数的不确定性进行了研究；郭建青等［5-6］曾分析了一维河流水质方程解析解的性态，得出了正逆计算问题的“病态”条件，这在实际应用中可有效避免“病态”计算，但未能得出参数对污染物浓度计算结果的定量影响；束龙仓等［7-8］曾研究了地下水数值模拟中参数灵敏度及不确定性；徐爱兰等［9］分析了太湖数字流域系统水质模型参数的灵敏度；这些研究都综合考虑了局部灵敏度与全局灵敏度［10-11］相结合的方法来分析数值模拟中的参数灵敏度，定量地评价了参数的不确定性对计算结果的影响，但计算过程较繁杂。

本文采用局部灵敏度方法分析单个参数对污染物浓度计算的影响，定性地得出参数的灵敏度排序；再运用Morris全局灵敏度方法计算多个参数相互作用下的系统扰动对污染物浓度计算结果的影响，进而得到了不同参数组合下的灵敏度值，定量地描述参数变化对模型方程解析解的影响程度，所用方法易于理解且计算过程简单。二维河流水质模型方程解析解参数灵敏度的研究成果可以有效地应用于河流水质评价及水资源防护，可重点识别对模型方程影响较大的参数，减小计算结果误差，提高计算精度。

2　基本方法

2．1局部灵敏度法

局部灵敏度法［12］是给待评估参数一个微小扰动后观察由模型方程计算出的结果的变化幅度，一次只对一个参数进行评估，故又称为一次变化法或扰动分析法。目前该方法是最简单最容易操作且应用最广泛的灵敏度分析方法。其缺陷是一次只对一个参数进行分析，未考虑多个参数共同作用时对模型方程计算结果的影响。忽略了在分析其中一个参数时其他参数的取值也会影响该参数的灵敏度［13］。故局部灵敏度分析法在实际应用中存在一定的局限性。

2．2全局灵敏度法

全局灵敏度分析方法考虑了多个参数相互作用时对模型方程计算结果的影响，主要方法有多元回归法［14］、Morris法［15］、Sobol法［16］等。文中采用Morris法对二维河流水质模型方程解析解的参数灵敏度进行分析［5］。

Morris法是由Morris于1991年提出的一种在全局范围内计算灵敏度的分析方法。假设模型方程有k个参数，每个参数有p个取样点，假设出k个参数在p个取样点的值，即可得到向量X=（x1，x2，．．．，xk），再构造m×k（m=k+1）阶矩阵，即

矩阵中的一列代表一个参数，1，0分别代表参数改变和未改变的值，矩阵中相邻2行只有1个参数不同，将相邻2组参数值代入模型方程中得到的计算结果相减即可得到唯一不同的参数对模型方程的影响，进而可以得到该参数的灵敏度，同理可计算出任意2个及多个参数共同作用下的扰动对模型方程的影响，最终能得到所有参数任意组合情况下的灵敏度。

3　分析与讨论

二维河流水质模型［1］用来模拟流场均匀稳定条件下的河流水质状况。在河流岸边连续投放含有不可降解污染物的污水，假设河流无限延伸且污染物在水深方向快速均匀混合，忽略污染物在河流纵向弥散作用的条件下，二维河流水质模型解析解的基本方程为

式中：c（x，y）为空间坐标（x，y）处污染物的质量浓度（mg/m3）；q为污水的流量（m3/s）；lq为投放污水的质量浓度（mg/m3）；h为河流断面的平均深度（m）；u为河流横向平均流速（m/s）；Dy为河流横向扩散系数（m2/s）；x0，y0为污水排放点的位置坐标（m）。

算例1［17］：河流宽度 B=60 m；平均水深h= 12．0 m；污水投放点坐标为x0=-200 m，y0=5．0 m；污水排放流量q=0．6 m3/s；河流平均流速u=0．5 m/s；投放污水的污染物浓度lq=8．0×107mg/m3；横向扩散系数Dy=0．04 m2/s；2个横向观测面x1=300 m，x2= 600 m；y1，y2表示2个观测面的纵坐标；2个断面的污染物浓度c1，c2见表1。

表1　2个观测面上污染物的观测浓度Table 1　Observed concentrations of pollutants in two observation sections

算例2［18］：假定污水排放点为坐标原点；河流宽度B=50 m；河流平均深度h=4．0 m；平均流速u=1 m/s；投放污水的污染物浓度lq=600 mg/m3；以污水排放点下游1 200 m为横向观测面，观测面纵坐标为y，横向扩散系数Dy=0．01 m2/s。观测断面的污染物浓度数据可见文献［18］。

3．1局部灵敏度分析

用扰动分析法对二维河流水质模型方程中的4个参数进行灵敏度分析。首先对河流平均流速u进行灵敏度分析，将u值分别增大和减小1%，5%，10%，15%和20%，同时保持其他参数值不变，将所得数值代入式（1）计算每个观测断面的污染物浓度，再计算污染物浓度的相对误差Si，其值反映了参数变化对模型方程解析解计算结果的影响程度。用所有观测断面污染物浓度的平均相对误差S的绝对值来刻画模型方程对参数的敏感程度，|S|越大表示模型方程对该参数越敏感。同理，可分别计算出横向扩散系数Dy及污水排放点位置坐标x0，y0的灵敏度。计算公式如下：

式中：ci为参数变化后的第i个观测断面污染物浓度值；c0为参数未改变时相应观测断面的污染物浓度值；n为观测断面的数量。

分别对以上2个算例，利用式（2）和式（3）进行计算，结果如表2所示。

由表2结果可知，算例1在参数变幅增大时，污染物浓度相对误差Si与河流的横向平均流速u值的变化成负相关关系，与其他参数的变幅成正相关关系，反之亦然。河流的横向平均流速u值在减小10%的幅度及以上时，污染物浓度的相对误差较大；河流的横向扩散系数Dy值在增加和减小10%及以内时，污染物浓度的相对误差为0，在Dy值增加10%的幅度及以上时，污染物浓度的相对误差较大；污水排放点的位置坐标x0，y0在增加和减少微小幅度［19］时，污染物浓度的相对误差较小，即可以理解为污水排放点的位置坐标x0，y0小幅度的变化对污染物浓度的计算基本无影响。污染物浓度的相对误差较大表明了较小的参数变幅会导致计算结果产生较大的误差，即该参数的扰动对模型方程解析解的计算结果影响较大。

图1为算例1各参数的灵敏度变化曲线。

表2　不同参数变化下的污染物浓度相对误差Table 2　Relative errors of pollution concentration with parameters changing

图1　参数灵敏度变化曲线Fig．1　Curves of parameters sensitivity

从图1可见：河流横向平均流速u的灵敏度值随参数u变幅的减小而增大，且减小的幅度越大其灵敏度值越大；在u值增大和减小的幅度相同时，u值减小对模型方程的敏感程度要大于u值增大时对模型方程的敏感程度；在参数u的变幅为-20%～-10%时，式（1）对河流横向平均流速u的扰动较敏感。从图1还可看出：河流横向扩散系数Dy的灵敏度值随参数变幅的增大而增大，当参数变幅在12%以上时，式（1）对河流横向扩散系数Dy的扰动较敏感；在Dy值增大和减小相同幅度时，Dy值的增大对模型方程的影响程度要大于Dy值减小时对模型方程的影响程度。污水排放点的位置坐标x0，y0的灵敏度随参数的变化而改变较小且大都＜1，即可理解为当污水排放点的位置坐标产生微小扰动时式（1）对其不敏感。

对于算例2计算结果的分析，可以得到相同结论。

3．2全局灵敏度分析

根据前文所述，二维河流水质模型解析解的基本方程共4个参数，令x1=u，x2=Dy，x3=x0，x4=y0，则有X=［x1，x2，x3，x4］，每个参数取样点个数为10。根据前文分析，分别将矩阵B中各行参数值代入式（1）中，并按前文方法计算，即可得到各参数任意组合下的灵敏度值。所有参数的任意组合共有15种不同的方式，如表3所示。

表3　参数组合方式Table 3　Combination patterns of parameters

按前文方法可分别计算出算例1和算例2的各参数在全局意义下的单参数及多个参数相互作用时对模型方程解析解的影响程度。为简化计算，可假设所有参数都增加20%，此时算例1和算例2中各参数任意组合的灵敏度如表4所示，即模型方程解析解对各参数任意组合的敏感程度。

表4　不同参数组合的灵敏度Table 4　Sensitivity under different combination patterns of parameters

由表4结果可知，利用Morris全局灵敏度分析方法计算出单参数灵敏度大小顺序为：|Su|＞|SDy|＞|Sy0|＞|Sx0|，与局部灵敏度分析方法所得到的大小顺序一致。从表4定量的分析数据可知，局部灵敏度分析方法与Morris全局灵敏度分析方法计算出的单参数灵敏度值不同；多个参数相互作用时的灵敏度值并不是相应的单个参数灵敏度值简单累加的结果。

4结论

通过对二维河流水质模型方程解析解参数分别进行局部灵敏度与Morris法的全局灵敏度分析，得到了2种灵敏度分析方法下各参数的灵敏度值。局部灵敏度分析结果显示：当河流横向扩散系数SDy扰动在±10%内时，Dy的系统误差对模型方程的计算结果基本无影响；河流横向平均流速u值的变化对污染物浓度的影响最大，即最灵敏；污水排放点的位置坐标x0，y0的灵敏度最弱。全局灵敏度分析结果显示，各参数任意组合的灵敏度值均较小，即可认为模型方程对参数的系统扰动较稳定。

根据以上结论，在实际应用中应尽可能提高灵敏度高的参数精度，减小因参数不确定性造成的系统误差，以便保证计算结果精度，减小对灵敏度低的参数不确定性的控制，以降低成本。

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（编辑：刘运飞）

Sensitivity of Analytical Solution to Parameters of 2-D Model of River Water Quality

FANG Bei1，LIU Yuan-hui1，GUO Jian-qing2
（1．College of Science，Chang'an University，Xi'an710051，China；2．School of Environmental Science and Engineering，Chang'an University，Xi'an710051，China）

The influences of input parameter errors on the calculation result of 2-D river water quality model were analyzed using local sensitivity analysis and Morris global sensitivity analysis respectively．The sensitivity of analytical solution to input parameters were calculated and compared；the influence of system disturbance on calculated results of pollutant concentration under the action of single parameter or multiple parameters was analyzed．Furthermore，curves of sensitivity obtained from local sensitivity analysis method were given．The results reveal that the sensitivities to parameters were different：the average flow velocity of river is the most influential，whereas the location of pollutant discharge has the weakest influence on pollutant concentration．The sensitivity of calculation result to parameters follows the order of|Su|＞|SDy|＞|Sy0|＞|Sx0|．Besides，the sensitivity calculated by local analysis under the changes of single parameter is different from that by Morris global analysis．Morris global analysis considers the interaction among multiple parameters，therefore is more reliable than local analysis and better reflects the real situation．

local sensitivity analysis；global sensitivity analysis；2-D model of river water quality；analytical solution；relative error；sensitivity

P641；P338．6

A

1001-5485（2016）07-0023-05

2015-04-01；

2015-05-07

国家自然科学基金项目（11171043）

方贝（1991-），女，陕西咸阳人，硕士研究生，主要从事水文地质的数学方法研究，（电话）18729054617（电子信箱）chdxyfb@163．com。

刘元会（1964-），男，陕西咸阳人，教授，硕士生导师，主要从事水文地质的数学方法研究，（电话）13572046120（电子信箱）chdlyh@ 126．com。