李　浩,彭　华

(解放军信息工程大学信息系统工程学院,河南郑州 450001)

多径信道下MIMO系统发送天线数估计

李浩,彭华

(解放军信息工程大学信息系统工程学院,河南郑州 450001)

为了解决认知无线电或信号截获中多径信道下MIMO系统发送天线数估计问题,首先分析了现有模型在多径信道下失效的原因,将MIMO多径信道模型等效变换出一种虚拟信道矩阵,从而建立多径信道下MIMO系统发送天线数估计模型;然后,利用随机矩阵理论中协方差矩阵最小特征值分布的相关研究结果,证明了时不变瑞利信道的协方差矩阵最小特征值收敛于第二类Tracy-Widom分布,分析了该特点对发送天线数估计的影响,并提出一种改进的RMT估计算法来估计多径信道下MIMO系统发送天线数.最后对改进算法进行了仿真验证,结果表明在低信噪比和小数据条件下,改进算法的估计性能相比RMT算法有较大提升.

多输入多输出;发送天线数估计;多径信道;随机矩阵理论

1　引言

近年来,多输入多输出(Multiple Input Multiple Output,MIMO)系统在无线通信领域得到了广泛的应用,MIMO中新技术的发展给认知无线电或信号截获中等特殊的应用背景带来了新的挑战.对于MIMO信号,获知发送天线数是能够正确解调MIMO信号的必要条件,因此,对发送天线数的估计成为MIMO信号盲接收技术中一个值得研究的关键问题.本文要解决的就是在多径信道条件下MIMO信号发送天线数估计的问题.

对于MIMO系统中发射天线数目的估计,与信源个数估计有着紧密的联系,需要解决两个重要问题:一是信号子空间特征值的获取;二是根据特征值估计出信源个数.对于第一个问题,一般的解决方法是利用信号子空间的相关理论,通过信号观测样本估计出协方差矩阵中信号子空间的特征值.

对于第二个问题,最常见的是基于信息论的模式选择方法,该方法用最小描述长度(Minimum Description Length,MDL)和Akaike信息论准则(Akaike Information Criterion,AIC)构造目标函数,利用目标函数估计信号个数,这些方法早在上世纪80年代就应用到了阵列信号个数估计的问题中[1～4].之后,Xu等[5]对AIC和MDL方法进行了性能分析和对比,并证明MDL方法是一种一致估计方法,但在小数据和低信噪比条件下性能不如AIC方法.2010年Boaz Nadler[6]在总结前人工作的基础上,更加深刻的揭示了AIC和MDL方法的关系,并对AIC的方法进行了改进,改进后的方法不仅是一致估计,并且在小数据和低信噪比方面相比MDL仍有较大优势.除了信息论的方法,文献[7]提出了特征值门限预测(PET:Predicted Eigen-value Threshold)的方法,通过一步预测简化算法,并对数据样本协方差矩阵的特征值对噪声方差的上限进行估计,利用该预测上限值判断发射天线数目,该方法无法在数学上给出严谨的性能分析,但仿真结果来看该方法同改进的AIC算法性能相近.1995年Wu等人[8]提出一种基于盖尔圆盘的信号个数估计算法,该方法能够在色噪声的条件下实现信号个数估计,缺点是计算复杂度较高,需要进行多次矩阵分解计算.最近十年,随机矩阵理论(Random Matrix Theory,RMT)得到了快速发展,相关文献[9～12]给出了Wishart矩阵最大(或最小)特征值的分布情况,文献[13]则利用噪声协方差矩阵是Wishart矩阵这一性质,根据最大特征值分布设定虚警概率给出判决门限,估计噪声子空间和信号子空间的维数,并给出了渐进一致性估计的证明.由于该算法利用的统计量最为精确,因此在白噪声条件下,该算法相比其他几种一致估计的方法拥有最佳的估计性能.

在上述理论的基础上,近年来针对不同的应用背景,上述几种典型算法又得到了改进和进一步分析.文献[14,15]对MDL算法进行了改进,降低了计算复杂度.一些文献[16～18]则针对空域相关的情况,对信源个数估计问题进行了分析.文献[19]则利用延迟相关预处理的方法,解决了色噪声条件下信源个数估计的问题.

另外针对MIMO天线数估计问题,2007年Somekh[20]等人将信息论的方法用于MIMO系统发送天线数估计中,针对信道时变的特点提出用多次测量相结合的方法提高估计性能.Shi等人[21]提出了一种Schur补检验信号矩阵秩增减的方法,这种方法适用于发送天线数可变的情况,可以利用较小的数据量跟踪发送天线数的变化,缺点是信噪比性能较差.2011年K.Hassan等人[22]通过仿真对比指出PET算法在MIMO天线具有相关性的情况下,相比于信息论的算法仍具有较好的性能.

但上述文献全都没能在多径信道条件下分析解决MIMO天线数估计的问题,其中最大的问题就是多径信道使MIMO信号在时域上具有相关性,导致原信号模型失效.本文致力于解决多径信道条件下MIMO系统发送天线数估计的问题.

2　MIMO系统发送天线数估计模型

通常来说,天线数估计问题与信号源数量估计问题十分相似,解决该问题不需要已知星座映射和调制方式,一般只需假设各发送天线的信号独立,但本文需要解决多径信道下的天线数估计问题,而离散多径信道的阶数与信号采样率有关,因此,在本文中假设接收信号没有定时偏差.下面来分析平坦信道和多径信道下,MIMO信号发送天线数估计模型.

2.1MIMO系统发送天线数估计模型

一个MIMO系统,有个发送天线和Nr个接收天线,且有Nr>Nt.在一段时间内,可以认为MIMO信道为时不变信道,并且不考虑空域相关性,则n时刻Nr个接收天线接收到的信号矢量为:

y(n)=Hx(n)+v(n)

(1)

根据信号子空间的理论,定义接收信号总体协方差矩阵:

(2)

(3)

(4)

2.2多径信道MIMO发送天线数估计模型

上述模型在时不变信道下能够取得较好的效果,但在多径信道条件下无法实现天线数的估计,下面来分析其无法应用的原因.首先对信号模型进行分析,多径信道MIMO系统的信号模型与2.1中给出的信号模型略有不同,假设离散多径信道的最大阶数为L,则信号可以建模为:

(5)

(6)

(7)

进一步有:

(8)

对上述模型做进一步等效,仍旧假设多径离散信道最大阶数为L,观测第i个接收天线接收到的最近K(K≥1)个数据:

(9)

(10)

进一步定义信道矩阵:

HK

(11)

该信道矩阵是对MIMO多径信道模型以一种数学矩阵方式的变换和扩展,并不是真实的信道矩阵,因而称之为虚拟信道.根据该虚拟信道矩阵,对于Nr个接收天线接收到的最近K(K≥1)个数据组成的维数为NrK×1的矢量,有:

yK(n)=HKxK(n)+v(n)

(12)

其中,yK(n)=[y0(n),…,y0(n-K+1),…,yNr(n),…]T.

3　多径信道MIMO发送天线数估计

由第2节中的分析可知,从每个接收天线选取长度为K的信号组成矢量yK(n),该矢量维数为NrK×1,用该数据构造样本协方差矩阵:

(13)

对该相关矩阵做特征值分解,每改变一次K的取值,就可以通过AIC、RMT等算法得到一次信号协方差矩阵秩Nt(K+L-1)的估计值,改变K的取值,能够联合估计出天线数与信道阶数.实现该过程,最重要的是要选取合适的Nt(K+L-1)估计方法,在白噪声条件下,基于RMT的信号个数估计算法利用的统计量最为精确,相比其他几种一致估计的方法拥有最佳的估计性能,因此,本文在该算法的基础上,根据MIMO信道协方差矩阵的分布特性,提出了一种改进的RMT方法.

3.1基于RMT的信号个数估计

随机矩阵理论的发展为分析信号个数估计问题带来了新的思路,并且由于随机矩阵理论中给出的统计量最为精确,因此在白噪声条件下,该算法相比其他几种一致估计的方法拥有最佳的估计性能.下面简要介绍一下基于RMT的信号个数估计算法.

(14)

其中μNsamp,Nr和ξNsamp,Nr则是观测参数Nr和Nsamp的函数,对于实信号有β=1称为第一类Tracy-Widom分布;对于复信号有β=2,此时FTW2(s)表示第二类Tracy-Widom分布,此时有:

(15)

(16)

其中α表示误警概率,能够用于控制该假设模型的过估计概率,并有:

FTWβ(s(α))=1-α

(17)

在给定α的条件下对阈值s(α)的选取需要计算Tracy-Widom分布的逆函数,但分布没有闭合表达式,文献[13]提供了两种方法,一种是用文章中给出的工具包通过数值仿真的方法计算,另一种是在α<<1的条件下,用Tracy-Widom分布逆函数的近似计算表达式:

(18)

针对信号个数估计问题,可以证明,如果存在Nt个发送信号只要信号功率足够大,那么观测信号样本协方差矩阵Ry的特征值lNt+1的分布情况也服从Tracy-Widom分布.因而上述假设检验可以拓展到多个信号的检测,对第m个样本特征值lm的显著性进行检验,判断是否满足以下条件:

(19)

(20)

文献[13]详细论证了如何选取误警概率α能够保证算法的渐进一致估计,还分析了算法的检测性能并给出了仿真验证.

3.2基于RMT的MIMO发送天线数估计

为了讨论检测性能和信号的检测边界,必须使信号协方差矩阵的特征值可控,文献[13]给出一个特殊的H矩阵:

(21)

不失一般性,假设各发送信号功率为1,就可以使信号协方差矩阵特征值分解满足:

(22)

(23)

显然该模型与MIMO系统的信道模型不符,并且由于信道矩阵H为随机矩阵,难以保证ρNt>ρDET,因此,下面对MIMO信道矩阵进行分析,讨论信道对于MIMO系统天线数估计的影响.一般来说,无论是时不变平坦衰落还是时不变多径信道,都认为MIMO系统的信道矩阵H的元素是幅度服从瑞利分布,相位服从均匀分布的复随机变量,因此,MIMO信道矩阵也可以用随机矩阵理论来分析.

文献[12]指出,如果随机变量r满足下面条件:

(A1):随机变量r的分布满足对称性,即r和-r的概率密度相同;

(A2):存在常数C0使E|r|2k≤(C0k)k,即随机变量r具有亚高斯拖尾;

(A31):E[r2]=E[rr*]=1;

(A32):E[r2]=0且E[rr*]=1;

当直译无法完整表达原文文化内涵时，译者可以在其基础上结合注释加以说明。这样一方面保留了原文的文化内涵，另一方面也能使儿童读者了解更多的外国文化。

其中(A31)或(A32)满足一条即可.那么,有以下结论:

对于固定的β∈{1,2},令λ1表示随机矩阵X的协方差矩阵XXH的最小特征值,X的维数为M×N(M≤N)、各元素独立且满足(A1)、(A2)或(A3β),当M,N→∞时,随机变量

(24)

的分布收敛于第β类Tracy-Widom分布.

(25)

(26)

H0:至多m-1个信号

H1:至少m个信号

(27)

其中:

(28)

(29)

如果满足上式,那么表示接受假设H1,令m=m+1,继续进行检测,直至假设H0被接受,停止检测估计信号个数为m-1.

3.3算法步骤

为了降低基于RMT算法的欠估计概率,根据MIMO信道协方差矩阵的分布特性,提出了一种改进的RMT方法,根据上述分析,总结多径信道MIMO系统天线数估计算法步骤如下:

(1)对K=1、K=2分别作如下估计:

3.4渐进一致性分析

上述算法针对RMT算法在小数据和低信噪比条件下欠估计概率较大的问题,利用了MIMO信道协方差矩阵的最小特征值分布的性质,从而提升发送天线数估计的检测概率.那么这种性质的利用是否会影响信噪比较高或者大数据条件下估计的性能,下面给出具体分析.

(30)

因此有:

(31)

(32)

则:

(33)

>s(αH)

4　算法仿真

另外,还可以从均方误差角度比较两种算法的性能,定义均方误差:

由四组的仿真结果可以看出本文的改进算法比RMT算法在小数据量、低信噪比的条件下误估计概率更低、均方误差更小,这是因为改进算法利用了信道系数特征值分布的特点,使其对发送天线数的估计更为精准.同时也可以看出,随着信噪比的升高、数据量的增加,噪声特征值分布的特点起主导作用,式(29)越来越难以满足,所以两种算法在中高信噪比(大于2dB)和较大数据量(大于150个符号)时估计性能几乎相同.另外,仿真结果还验证了上一节中对算法性能的分析,在信噪比较高和数据量较大的情况下算法误估计概率趋于0,验证了算法的渐进一致性.

5　总结

针对MIMO发送天线数估计问题,本文主要做出了两点贡献:一、分析了现有模型在多径信道下失效的原因,建立了一种虚拟信道矩阵来解决多径信道下MIMO信号子空间特征值获取的问题;二、根据多径信道下发送天线数估计问题的特点,利用随机矩阵理论中最小特征值分布的相关研究结果,证明了时不变瑞利信道的协方差矩阵最小特征值分布服从第二类Tracy-Widom分布,分析了该特点对发送天线数估计的影响,并提出一种改进的RMT估计算法来估计多径信道下MIMO系统发送天线数和信道阶数.最后对改进算法进行了仿真验证,结果表明在低信噪比和小数据条件下,改进算法的估计性能相比RMT算法有较大提升.

本文假设信道模型为信道系数服从瑞利分布的时不变多径信道,而实际的无线通信环境、尤其是移动通信中MIMO信道常常会具有时变特性或者发送(接收)天线之间具有相关性,因此,如何分析这些特性给发送天线数估计带来的影响,并克服这些影响将是很具挑战性和实际意义的工作.

附录

证明对于幅度服从瑞利分布,相位服从均匀分布的复随机变量满足文献[12]条件,即3.2中给出的(A1)、(A2)、(A3).

令复随机变量r=A·ejθ,其中A为服从参数为b的瑞利分布:

由于r=A·ejθ,令φ=θ-sign(θ)π,则-r=A·ejφ由于θ为均匀分布,可得:

则f(r)=f(-r),满足条件(A1);

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李浩男,1986年12月出生,河北衡水人.2009年和2012年在解放军信息工程大学分获工学学士、工学硕士学位.现为解放军信息工程大学信息与通信工程专业博士研究生,主要研究方向通信信号处理、盲信号处理.

E-mail:leo.lihao@163.com.

彭华男,1973年出生,江西萍乡人.教授、博士生导师.1995年,1998 年和2002 年在解放军信息工程大学分别获得工学学士,工学硕士和工学博士学位.现为解放军信息工程大学教授,主要从事通信信号处理、软件无线电、盲信号处理等方面的研究工作.

Detecting the Number of Transmit Antennas in MIMO System with Multi-Path Channel

LI Hao,PENG Hua

(Institute of Information System Engineering,Information Engineering University,Zhengzhou,Henan 450001,China)

Under the condition of unauthorized receivers and cognitive radios,the problem of detecting the number of transmit antennas in MIMO system with multi-path channel is to be solved.To achieve this goal,we analyze the invalidation of presenting model and transform the MIMO multi-path channel model into virtual channel matrix to create the model of detecting the number of transmit antennas in MIMO system with multi-path channel.Then,the result of least eigen-value of covariance in random matrix theory is applied to the proof,which shows that the least eigen-value of channel covariance whose element obeys the Rayleigh distribution,converges in distribution to the Tracy-Widom law TW2.The effect on detecting the number of transmit antennas of this property is analyzed and an improved algorithm based on RMT,which could detect the number of transmit antennas in MIMO system with multi-path channel,is proposed.At last,the simulation shows that compared with the RMT algorithm the improved algorithm has better performance,in the condition of low SNR and small data size.

multiple input multiple output;detecting the number of transmit antennas;multiple-path channel;random matrix theory

2015-01-22;

2015-12-21；责任编辑：李勇锋

国家自然科学基金(No.61401511)

TN911.7

A

0372-2112 (2016)07-1539-09

��学报URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.07.003