张一方

(云南大学 物理系，云南 昆明 650091)

0 引言

众所周知，量子力学和粒子物理的发展应用了一些和以前的理论不同的数学工具，如算符、矩阵表示、Hilbert空间等.并发展出某些新的数学结果，最著名的有量子力学的新方程、Bose-Einstein(BE)和Fermi-Dirac(FD)统计、Yang-Mills规范场等[1-5].统计原理是量子力学和整个物理学的基本原理， 1986年9月Dirac在论述《原子物理的未来》时认为对以前研究不够的不完全可约表示，或称为病态表示可能在物理学中有重要应用.20世纪80年代Connes非对易微分几何可以把Higgs场解释为离散点空间上的规范场，相应的Higgs势成为它的Yang-Mills作用.这对应非线性.Coquereaux等和Sitarz分别应用矩阵运算和离散群上的微分运算等方法阐述Connes的离散空间上非对易几何的基本思想.笔者讨论了非平衡统计和统计的某些应用，然后研究各种统计方程及其与量子理论的关系，探讨高能时的统计性及此时具有的新特征[6].本文探讨了四元数、符号动力学等几种新的可能应用于粒子物理中的数学方法，并且具体研究了粒子的拓扑模型和弱相互作用可能相应于Lobachevsky几何.

1 粒子物理中几种新数学工具的探讨

实数域中无零因子的有限维的交错代数仅有四种：1)实数域,是交换代数；2)复数域,是交换代数；3)四元数代数，是非交换代数；4)Cayley代数是非结合交错代数.它们的维数分别是1、2、4、8.四元数代数和Cayley代数可以是非交换的，特例即反交换.其中四元数代数的后三个元素，Cayley代数的后七个元素都是两两反交换的.它们有可能统一……