贾建文,杨 航

(山西师范大学 数学与计算机科学学院,山西 临汾 041004)

0 引言

在生态数学中,捕食者与其食饵之间的动力学一直以来都是十分重要的研究课题.Lotke-Volterra模型是最基本的捕食模型.关于Lotke-Volterra模型的研究已经有许多成果[1-4].在捕食系统中,影响模型的动力学因素有很多,其中最重要的一个是功能性反应函数.现有文献中采用的功能性反应函数主要有Holling I-IV型[5-7]、Beddington-DeAngelis型[7]和比率依赖型[8-9]等.近几年，不少学者关注多种群捕食系统的研究[1,3,5,7,10],其中文献[5]建立了两食饵种群(分别为强食饵与弱食饵)与一捕食者种群的捕食系统,研究了该系统平衡点的渐近稳定性及系统持久性.

在生态系统中,捕食者对食饵的捕食率往往不仅依赖食饵,而且依赖捕食者的数量.因此在文献[5]的基础上我们假定捕食种群对强食饵种群的捕食率符合比率依赖功能性反应函数,建立如下模型:

(1)

1 系统解的正有界性

定理1S是系统(1)的一个正向不变集.

因此,对于任意的t>0,系统(1)的任意解均满足x1(t)≤k1.同理可证x2(t)≤k2.

根据系统(1)可得:

2 平衡点的稳定性

经过简单计算可知,系统(1)存在的平衡点:

当r1n1k2且r2>n2k1时,平衡点E1存在.

当δ<βηk2时,平衡点E2存在.

(2)

其中

α1=n1n2k1k2-r1r2,β1=βηk2n2,α2=Bβn1k1k2,

β2=Bμr2+Bβ2ηk2,

α3=r1k1r2-n1k1k2r2,β3=δr2-Amr2-βηr2k2,

α4=Br1k1r2-Ak1r2-Bn1k1k2r2,

β4=Bδr2-Bβηr2k2,

α5=-Br1r2+βn1k1k2+Bn1n2k1k2,

其次，教学中教师把主题图换成了点子图（图3、图4）发给每个学生，学生可以根据自己的要求摆放每张点子图。通过点子图的摆放，学生化静为动，通过摆放点子图的位置，理解不同方法的含义。再通过对比寻找到三种方法的相同与不同，让学生们更深刻理解每种方法，提升了学生的思维。在学生的脸上，教师看到了喜悦的笑容。