陈宝凤,赵明霞，石东洋

(1. 安阳工学院 数理学院, 河南 安阳 455000; 2.平顶山学院 数学与信息科学学院， 河南 平顶山 467000； 3. 郑州大学 数学与统计学院, 河南 郑州 450001)

0 引言

考虑非线性Sobolev-Galpern型湿气迁移方程[1]:

(1)

其中：x=(x1,x2)；Ω⊂R2；系数a(x,t;u),c(t),f(x,t;u),e(t),g(x,t;u)为已知函数且满足如下假设：

(I)存在正常数a0,a1,c0,c1,f0,f1,e0,e1使得对任意x∈Ω,u∈R,t∈(0,T]都有a0≤a(x,t;u)≤a1,c0≤c(t)≤c1,f0≤f(x,t;u)≤f1,e0≤e(t)≤e1.

(II)a(x,t;u),f(x,t;u),g(x,t;u)关于u满足Lipschitz条件,并且a(x,t;u),f(x,t;u)关于u具有直至二阶连续有界的导数.

(III)方程(1)的精确解u∈C2(Ω)×[0,T]且存在唯一.

1 单元构造性质及逼近格式

ΣK={v1,v2,v3,v4,v5},

其中,

设Ih:H1(Ω)→Vh为Vh所诱导的插值算子,满足：

则Vh具有下列重要性质[9-10].

引理1 ∀u∈H1(Ω),φ∈H2(Ω),vh∈Vh有

(2)

(3)

这里及以后出现的C均表示一个与h无关的正常数,不同的地方可以不同.

在不发生混淆的情况下,以后仍记(u,v)h=(u,v).

(4)

这里简记a(u)=a(x,t;u),f(u)=f(x,t;u),g(u)=g(x,t;u).

方程(4)的逼近问题为：求uh(·,t):(0,T]→Vh满足

(5)

2 超逼近分析

本节我们给出超逼近性质.

定理1 设u和uh分别为方程(4)和(5)的解,u,ut∈H3(Ω)∩W,则有

‖Ihu-uh‖h≤

(6)

证明令ρ=u-Ihu,θ=Ihu-uh,则u-uh=ρ+θ.由方程(1)和方程(5)并在两端加上f1(θ,vh)，得误差方程为

(a(uh)θt,vh)+c(θt,vh)+f1(θ,vh)=

-(a(u)ρt,vh)-c(ρt,vh)+

(f(u)ρ,vh)-e(ρ,vh)+

((f(uh)+f1)θ,vh)-e(θ,vh)+

((g(uh)-g(u)),vh)+

((a(u)-a(uh))Ihut,vh)+

((f(u)-f(uh))Ihu,vh)+

(7)

这里的Ii(i=1,…,11)分别对应式(7)中等号后面的相应项.在式(7)中取vh=θt，左端可估计为

(a(uh)θt,θt)+c(θt,θt)+f1(θ,θt)≥

(8)

下面估计式(7)右端各项.为此,定义

则∀φ∈W(Ω),

首先由式(2)及ε-Young不等式,得

Ch2|ut|2‖θt‖0≤

(9)

I2=c(ρt,θt)≤Ch2|ut|2‖θt‖0≤

(10)

同理,

I3=(f(u)ρ,θt)=

Ch2|u|2‖θt‖0≤

(11)

由单元的定义知

所以

I4=e(ρ,θt)=e(

e(

Ch2|u|2‖θt‖0≤

(12)

再由f和e的有界性及ε-Young不等式可得

I5=((f(uh)+f1)θ,θt)≤

C‖θ‖0‖θt‖0≤

(13)

I6=e(θ,θt)≤C‖θ‖0‖θt‖0≤

(14)

同理,利用g的Lipschitz连续性及式(2)得

I7=((g(uh)-g(u)),θt)≤

C‖u-uh‖0‖θt‖0≤

C(‖u-Ihu‖0+‖uh-Ihu‖0)‖θt‖0≤

Ch2‖u‖2‖θt‖0+C‖θ‖0‖θt‖0≤

(15)

另一方面,由假设u,ut∈H3(Ω)∩W,可知

‖Ihu‖≤Cu,‖Ihut‖≤Cu,

这里Cu表示与u有关的常数,不妨仍记为C.再由a和f的光滑性,类似于I7的估计可得

I8+I9≤C‖u-uh‖0‖θt‖0≤

C(‖u-Ihu‖0+‖uh-Ihu‖0)‖θt‖0≤

Ch2‖u‖2‖θt‖0+C‖θ‖0‖θt‖0≤

(16)

由式(3)可得

I10+I11≤Ch2(‖u‖3+‖ut‖3)‖θt‖0≤

(17)

综合式(8)-(17),利用‖θ‖0≤C‖θ‖0并取得

(18)

两边对t积分,并注意到θ(0)=0得

(19)

应用Gronwall不等式得

故

(20)

证毕.

3 超收敛分析

为了得到整体超收敛结果,把Th中相邻的4个小单元合并为一个大单元.同文献[9]中一样，构造插值后处理算子I2h使其满足下列性质

I2hIhw=I2hw,∀w∈H2(Ω),

‖I2hw-w‖h≤Ch2‖w‖3,∀w∈H3(Ω),

‖I2hvh‖h≤C‖vh‖h,∀vh∈Vh.

(21)

定理2 设I2h为上述构造的插……