赵晶晶

(滇西科技师范学院后勤管理处，云南临沧677000)



椭圆曲线y2=qx(x2-8)的正整数点

赵晶晶

(滇西科技师范学院后勤管理处，云南临沧677000)

摘要：设q≡±3(mod 8)为奇素数，主要利用同余的性质证明了:q=3时，椭圆曲线y2=qx(x2-8)有正整数点(x,y)=(3,1)；q≠3时，椭圆曲线y2=qx(x2-8)无正整数点。

关键词：椭圆曲线；奇素数；同余；正整数点

1概述

椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2=ax(x2+b)，a∈Z+,b∈Z的整数点问题，目前主要结论如下说明。

1)b=±1。主要结论为： ①b=1时，管训贵[1]证明了Fn(n≥2)为费马素数时，椭圆曲线y2=ax(x2+b)仅有1个正整数点(x,y)=((Fn-2-1)2,Fn(Fn-2-1))；杨海、付瑞琴[2]给出了椭圆曲线y2=ax(x2+b)在a≡9(mod 16)时没有正整数点，a≡1(mod 16)时，给出了该椭圆曲线有正整数点的2个判别条件；窦志红[3]给出了对于某些特殊素数a椭圆曲线y2=ax(x2+b)的上界；祝辉林、陈建华[4]证明了椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点；乐茂华[5]证明了当a≢1(mod 8)，椭圆曲线y2=ax(x2+b)仅当a=2时有正整数点(x,y)=(2,1)；当a≡1(mod 8)时至多有1组正整数点(x,y)。②b=-1时，赵院娥[6]证明了当无平方因子的正奇数a是适合a≡5或7(mod 8)的奇素数时，椭园曲线y2=ax(x2+b)无非零整数解。

2)b=2。主要结论为:陈历敏[7]证明了当a≠3为奇素数时，如果a≡5,7(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)没有正整数点；如果a≡1(mod 8)，则y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点；如果a≡3(mod 8)，则y2=ax(x2+b)至多有2组正整数点；廖思泉、乐茂华[8]证明了如果a的素因数q都满足q≡5或7(mod 8)，则y2=ax(x2+b)无非零整数解；李玲、张绪绪[9]给出了a≡1(mod 8)为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)有正整数点的判别条件，并证明了a<100时该曲线没有正整数点；杜晓英[10]给出了a≡1(mod 8)为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)有正整数点的若干判别条件；张瑾[11]证明了a≠5为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点，a=5时恰有2组正整数点(1,5)，(4,21)。

3)b=±4时，主要结论为: ①b=4时，崔保军[12]证明了a≠5为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点，a=5时恰有2组正整数点(1,5)，(4,21)；②b=-4时，万飞[13]证明了a为奇素数椭圆曲线y2=ax(x2+b)无正整数点。

4)b=64时，主要结论为：崔保军[14]给出了当a为奇素数时，如果a≡1(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有3对正整数点；如果a≡3(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)无正整数点；如果a≡7(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1对正整数点；如果a≡5(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)仅当a=5时有2对正整数点(x,y)=(4,40)，(16,160)和a=13时有1对正整数点(x,y)=(144,6 240)。

本文给出了b=8时椭圆曲线y2=ax(x2+b)的正整数点的情况，证明了如下定理。

定理如果q≡±3(mod 8)为奇素数，则椭圆曲线

y2=qx(x2-8)

(1)

当q=3时有正整数点(x,y)=(3,1)，q≠3时，无正整数点。

2定理证明

qz2=x(x2-8)

(2)

因为gcd(x,x2-8)=gcd(x,8)=1或2或4或8，故式(2)可分解为以下8种情况。

1)情形Ⅰx=qa2，x2-8=b2，z=ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

2)情形Ⅱx=a2，x2-8=qb2，z=ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

3)情形Ⅲx=2qa2，x2-8=2b2，z=2ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

4)情形Ⅳx=2a2，x2-8=2qb2，z=2ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

5)情形Ⅴx=4qa2，x2-8=4b2，z=4ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

6)情形Ⅵx=4a2，x2-8=4qb2，z=4ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

7)情形Ⅶ x=8qa2，x2-8=8b2，z=8ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

8)情形Ⅷx=8a2，x2-8=8qb2，z=8ab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

下面分别讨论这8种情形下椭圆曲线(式(1))的正整数点的情况。

1)情形Ⅰ由x=qa2，x2-8=b2及gcd(a,b)=1知gcd(x,x2-8)=1，所以x为奇数，因此x2-8也是奇数。又q为奇素数，则由式(2)知z为奇数，故a,b均为奇数。

将x=qa2代入x2-8=b2中，得q2a4-b2=8，即

(qa2+b)(qa2-b)=8

(3)

又a,b均为奇数，q为奇素数，则式(3)可分解为：

①qa2+b=4，qa2-b=2。两式相减得b=1，代入其中一式得qa2=3，则有q=3，a=1，因此x=3，此时得式(2)有解(x,z,q)=(3,1,3)，则椭圆曲线(式(1))当q=3时有正整数点(x,y)=(3,1)。

②qa2+b=2，qa2-b=4。两式相减得b=-1，这与“b∈Z+”矛盾，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

2)情形Ⅱ由x=a2，x2-8=qb2及gcd(a,b)=1知gcd(x,x2-8)=1，所以x为奇数，故x2-8也是奇数，又q为奇素数，则由式(2)知z为奇数，故a,b均为奇数。

将x=a2代入x2-8=qb2，得

a4-8=qb2

(4)

式(4)两边取模8得

a4≡qb2(mod 8)

(5)

又a,b均为奇数，于是a4≡1(mod 8)，b2≡1(mod 8)。又q≡±3(mod 8)，故式(5)为1≡±3(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

3)情形Ⅲ将x=2qa2代入x2-8=2b2，得4q2a4-8=2b2，即

2q2a4-4=b2

(6)

式(6)两边取模8得

2q2a4-4≡b2(mod 8)

(7)

由式(6)得b为偶数，所以b2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b为偶数，所以a为奇数，于是a4≡1(mod 8)。又q是奇素数，所以q2≡1(mod 8)，因此q2a4≡1(mod 8)，所以式(7)为-2≡0,4(mod 8)，即-1≡0,2(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

4)情形Ⅳ将x=2a2代入x2-8=2qb2，得4a4-8=2qb2，即

2a4-4=qb2

(8)

式(8)两边取模8得

2a4-4≡qb2(mod 8)

(9)

又q≡±3(mod 8)是奇素数，故由式(8)得b为偶数，故b2≡0,4(mod 8)，因此qb2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b为偶数，所以a为奇数，于是a4≡1(mod 8)。所以式(8)为-2≡0,4(mod 8)，即-1≡0,2(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

5)情形Ⅴ将x=4qa2代入x2-8=4b2，得16q2a4-8=4b2，即

4q2a4-2=b2

(10)

式(10)两边取模8得

4q2a4-2≡b2(mod 8)

(11)

由式(10)得b为偶数，所以b2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b为偶数，所以a为奇数，于是a4≡1(mod 8)。又q是奇素数，所以q2≡1(mod 8)，因此4q2a4-2≡2(mod 8)，所以式(11)为2≡0,4(mod 8)，即1≡0,2(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

6)情形Ⅵ将x=4a2代入x2-8=4qb2，得16a4-8=4qb2，即

4a4-2=qb2

(12)

式(12)两边取模8得

4a4-2≡qb2(mod 8)

(13)

又q≡±3(mod 8)是奇素数，故由式(12)得b为偶数，所以b2≡0,4(mod 8)，因此qb2≡0,4(mod 8)。又gcd(a,b)=1，而b为偶数，所以a为奇数，于是a4≡1(mod 8)，因此4a4-2≡2(mod 8)，所以式(13)为2≡0,4(mod 8)，即1≡0,2(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

7)情形Ⅶ将x=8qa2代入x2-8=8b2，得64q2a4-8=8b2，即

8q2a4-1=b2

(14)

式(14)两边取模8得

-1≡b2(mod 8)

(15)

由式(14)得b为奇数，所以b2≡1(mod 8)，因此式(15)为-1≡1(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

8)情形Ⅷ将x=8a2代入x2-8=8qb2，得64a4-8=8qb2，即

8a4-1=qb2

(16)

式(16)两边取模8得

-1≡qb2(mod 8)

(17)

又q≡±3(mod 8)是奇素数，故由式(16)得b为奇数，所以b2≡1(mod 8)，因此qb2≡±3(mod 8)。所以式(17)为-1≡±3(mod 8)，显然不成立，故该情形椭圆曲线(式(1))无正整数点。

综上，定理得证。

[参考文献]

[1]管训贵.关于椭圆曲线y2=px(x2+1)的一个注记[J].四川理工学院(自然科学版),2010，23(4)：384，393.

[2]杨海，付瑞琴.一类椭圆曲线有正整数点的判别条件[J].纯粹数学与应用数学，2013，29(4)：338-341.

[3]窦志红.椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数[J].纯粹数学与应用数学，2011，27(2)：210-212，235.

[4]祝辉林，陈建华.两个丢番图方程y2=nx(x2±1)[J].数学学报，2007，50(5)：1071-1074.

[5]乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2±1)的正整数点[J].湛江师范学院学报，2008，29(3)：1-2.

[6]赵院娥.椭圆曲线y2=2px(x2-1)的正整数点的个数[J].西安石油大学学报，2012，27(2)：106-107，110.

[7]陈历敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].数学学报，2010，53(1)：83-86.

[8]廖思泉，乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2+2)的正整数点[J].数学杂志，2009，29(3)：387-390.

[9]李玲，张绪绪.椭圆曲线y2=nx(x2+2)的整数点[J].西安工程大学学报，2011，25(3)：407-409.

[10]杜晓英.椭圆曲线y2=px(x2+2)在p≡1(mod 8)时的正整数点[J].数学的实践与认识，2014，44(15)：290-293.

[11]张瑾.椭圆曲线y2=px(x2+2)有正整数点的判别条件[J].数学的实践与认识，2015，45(4)：232-235.

[12]崔保军.椭圆曲线y2=px(x2+4)的正整数点[J].佳木斯大学学报，2014，32(6)：962-963.

[13]万飞.椭圆曲线y2=nx(x2-4)的整数点[J].湖北民族学院学报(自然科学版)，2015，33(3)：271-272.

[14]崔保军.椭圆曲线y2=px(x2+64)的正整数点[J].甘肃高师学报，2015，20(2)：7-9.

责任编辑：陈亮

doi:10.3969/j.issn.1671-0436.2016.03.012

收稿日期：2016- 03-22

基金项目：云南省教育厅科学研究项目(2014Y462)

作者简介：赵晶晶(1986—)，女，硕士研究生，助教。

中图分类号：O156.1

文献标志码：A

文章编号：1671- 0436(2016)03- 0052- 04

Positive Integral Points on the Elliptic Curve y2=qx(x2-8)

ZHAO Jingjing

(Department of Logistics Management ,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang 677000)

Abstract：Let q≡±3(mod 8) be odd prime.Using some properties of congruence,it was proved that if q=3,then the elliptic curve in title has just one positive integral point (x,y)=(3,1);if q≠3,then the elliptic curve in title has no positive integral point.

Key words：elliptic curve;odd prime;congruence;positive integral point