赵晶晶

(滇西科技师范学院后勤管理处，云南临沧677000)



椭圆曲线y2=qx(x2-8)的正整数点

赵晶晶

(滇西科技师范学院后勤管理处，云南临沧677000)

摘要：设q≡±3(mod 8)为奇素数，主要利用同余的性质证明了:q=3时，椭圆曲线y2=qx(x2-8)有正整数点(x,y)=(3,1)；q≠3时，椭圆曲线y2=qx(x2-8)无正整数点。

关键词：椭圆曲线；奇素数；同余；正整数点

1概述

椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题，关于椭圆曲线y2=ax(x2+b)，a∈Z+,b∈Z的整数点问题，目前主要结论如下说明。

1)b=±1。主要结论为： ①b=1时，管训贵[1]证明了Fn(n≥2)为费马素数时，椭圆曲线y2=ax(x2+b)仅有1个正整数点(x,y)=((Fn-2-1)2,Fn(Fn-2-1))；杨海、付瑞琴[2]给出了椭圆曲线y2=ax(x2+b)在a≡9(mod 16)时没有正整数点，a≡1(mod 16)时，给出了该椭圆曲线有正整数点的2个判别条件；窦志红[3]给出了对于某些特殊素数a椭圆曲线y2=ax(x2+b)的上界；祝辉林、陈建华[4]证明了椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点；乐茂华[5]证明了当a≢1(mod 8)，椭圆曲线y2=ax(x2+b)仅当a=2时有正整数点(x,y)=(2,1)；当a≡1(mod 8)时至多有1组正整数点(x,y)。②b=-1时，赵院娥[6]证明了当无平方因子的正奇数a是适合a≡5或7(mod 8)的奇素数时，椭园曲线y2=ax(x2+b)无非零整数解。

2)b=2。主要结论为:陈历敏[7]证明了当a≠3为奇素数时，如果a≡5,7(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)没有正整数点；如果a≡1(mod 8)，则y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点；如果a≡3(mod 8)，则y2=ax(x2+b)至多有2组正整数点；廖思泉、乐茂华[8]证明了如果a的素因数q都满足q≡5或7(mod 8)，则y2=ax(x2+b)无非零整数解；李玲、张绪绪[9]给出了a≡1(mod 8)为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)有正整数点的判别条件，并证明了a<100时该曲线没有正整数点；杜晓英[10]给出了a≡1(mod 8)为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)有正整数点的若干判别条件；张瑾[11]证明了a≠5为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点，a=5时恰有2组正整数点(1,5)，(4,21)。

3)b=±4时，主要结论为: ①b=4时，崔保军[12]证明了a≠5为奇素数时椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有1组正整数点，a=5时恰有2组正整数点(1,5)，(4,21)；②b=-4时，万飞[13]证明了a为奇素数椭圆曲线y2=ax(x2+b)无正整数点。

4)b=64时，主要结论为：崔保军[14]给出了当a为奇素数时，如果a≡1(mod 8)，则椭圆曲线y2=ax(x2+b)至多有3对正整数点；……