姜琴，袁力

(汉江师范学院计算机科学系，湖北十堰442000)



矩阵的幂零对角分解及推广

姜琴，袁力

(汉江师范学院计算机科学系，湖北十堰442000)

摘要：幂零矩阵及其性质在矩阵理论中有着重要应用。重点讨论了n阶方阵与幂零矩阵之间的关系问题，证明了任意n阶方阵可以分解为1个幂零矩阵与1个可对角化矩阵之和，并将该结论推广到了矩阵多项式上。最后，应用上述矩阵分解定理的证明思想，进一步给出了n阶方阵的对称矩阵分解形式。

关键词：幂零矩阵；对角分解；若当分解

1概述

幂零矩阵因其特殊的性质及其在组合数学、矩阵谱分析中的重要应用，成为近年来比较热门的一个研究方向，也取得了众多的研究成果。

文献[1-2]给出了构造幂零矩阵与谱任意符号模式矩阵的几种方法；文献[3]利用主子式刻画了在没有幂零元的坡上幂零矩阵的一些特征；文献[4-5]讨论了一般加法幂等半环上矩阵的同时幂零性及标准形；文献[6]对幂零线性变换生成的幂零代数及其同构问题进行了讨论；文献[7]给出了阶幂零矩阵的判定方法与构建方法。

本文将在上述结论的基础上，进一步考虑一般阶矩阵的幂零分解问题，对已有的结论予以补充。

2主要结论的证明

题目要求证明所给3阶矩阵可以分解为1个幂零矩阵与1个可对角化矩阵之和的形式。下面运用矩阵的对角化方法先给出此问题的证明。

由上述证明可知，所给3阶矩阵A可逆，且可以分解为幂零与可对角化矩阵之和的形式，那么这种分解能否推广到一般的n阶矩阵上来呢？……