王光庆，　周　疆

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐　830046)



一类多线性Calderón-Zygmund算子交换子的估计

王光庆，周疆

(新疆大学 数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐830046)

摘要：本文研究了由奇异积分算子T与Lipschitz函数bj(j=1,…,l)和BMO函数Bi(i=1，…,m)生成的混合多线性交换子在Lebesgue空间和Hardy空间上的有界性.得到了该多线性交换子是Lp(Rn)到Lq(Rn)和到有界的.

关键词：奇异积分算子；多线性交换子；Lipschitz函数；BMO函数

引言

众所周知，奇异积分算子理论在解决Possion方程解的正则性中起到了很重要的作用，交换子的有界性在调和分析中也扮演很重要的角色([1-8]).交换子的研究由来已久，在976年，Coifman,Rochberg,Weiss在文献[1]引入函数b与Calderón-Zygmund算子T生成的交换子

[b,T]f=bT(f)-T(bf),

多线性交换子是交换的一个自然推广，它由Pérez和Trujillo-González在[3]首先定义，即

其中T为奇异积分算子

Tf(x)=∫RnK(x,y)f(y)dy,

这里K(x,y)为定义在Rn×Rn{(x,y):x≠y}上的局部可积函数，它满足对所有的x,y,z∈Rn，有

(1)|K(x,y)|≤C|x-y|-n,x≠y，

(1)

存在0<ε≤1，当2|x-z|≤|x-y|时，有

(2)

(3)

在给出本文相关结果之前，我们先给出该多线性交换子的定义及相关记号.

(4)

1相关定义和主要结果

定义1.1称函数f(x)属于Lipshitz空间Lipβ(Rn)，0<β≤1，是指函数f(x)满足

定义1.2设f∈Lloc(Rn),Sharp极大函数M#f(x)定义为

定义1.3设0<α

(i) suppa⊂Q=Q(x0,r)={x∈Rn:|x-x0|

(ii) ‖a‖∞≤|Q|-1；

现在我们给出本文的主要结果.

2主要结果证明

定理1.1的证明思路是借用变形的Fefferman和Stein的Sharp极大函数估计，这种思想被许多学者所借鉴(见文献[10-12]).类似地我们先给出Sharp极大函数的估计及相关引理.在以下证明过程中，为书写方便，不妨设‖bj‖Lipβ(Rn)=‖Bi‖BMO(Rn)=1.

引理2.1(见[6])如果0

对所有上式左边有限的函数f成立.

现固定x，设Q是以x为中心，R为半径的球，取λj=(bj)2Q(j=1,2,…,l),Λi=(Bi)2Q(i=1,2,…,m).由于0<δ<1，因而对于任意的α,β∈R，‖α|δ-|β|δ≤|α-β|δ都成立，我们有

=I+II+III.

≤CMα,ε(Tf)(x).

对于II，令f=f1+f2,f1=fχ2Q，则

=II1+II2.

≤CMα,p1f(x).

×f(w)(K(y,w)-K(z,w))dw)dz|dy

对于III的估计，类似于I，

定理1.1的证明由于BMO函数和Lipshitz函数都可以由有界……