俞凯木，俞缙,2，周雨晴

(1. 华侨大学 岩土工程研究所，福建 厦门 361021；2. 中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏 徐州 221008)



考虑孔隙水压劣化作用的围岩黏弹性变形解

俞凯木1，俞缙1,2，周雨晴1

(1. 华侨大学 岩土工程研究所，福建 厦门 361021；2. 中国矿业大学 深部岩土力学与地下工程国家重点实验室，江苏 徐州 221008)

摘要:基于Terzaghi 有效应力原理，建立孔隙水压作用下轴对称隧洞的平衡方程，利用平面应变理论计算弹性应力场，并在体积应变率保持不变下获得高孔隙水压劣化Kelvin流变围岩的黏弹性蠕变解。在对比Gu解基础上，对不同孔隙水压与水头边界进行敏感性分析，结果表明：随着孔隙水压增大，蠕变稳定阶段逐渐向不稳定发展，尤其在高孔隙水压作用下围岩劣化变形能力明显增大，印证了佘成学等人的试验成果；当内外水压比较小时，洞壁时效变形发展较快，蠕变衰减阶段持续时间较长。该研究可为分析高孔隙水压作用下深埋隧洞围岩劣化的黏弹性变形提供理论基础。

关键词：孔隙水压；平衡方程；黏弹性蠕变；围岩劣化；弹性应力

在高孔隙水压作用下，岩石的强度由于围压被抵消而降低，其承载时间逐渐缩短，变形能力明显增大[1-3]。试验研究表明[4]，随着孔隙水压增大，高围压下Kelvin流变岩体的黏弹性模量显著线性递减。因此，深埋岩体隧洞在高孔隙水压作用下岩体质量不断劣化，其强度和变形刚度逐渐衰减，变形能力逐步增大。近年来，随着矿山开采工程、水利水电工程向深部发展[5]，高地应力与高孔隙水压条件下隧洞长期变形与稳定问题日益突出，高孔隙水压劣化作用下围岩时效变形研究尚处于探索阶段。针对孔隙水压对围岩时效变形影响的解析研究，魏佳等[6]建立了含有孔隙水压的Burgers体蠕变数学模型，从理论上说明了隧洞围岩的孔隙水压是影响其稳定性的重要因素。梁冰等[7]考虑了孔隙水压及孔隙度在蠕变过程中对于岩体变形的影响，提供了探索孔隙水压对围岩蠕变影响的数学方法，但其平衡方程与弹性应力分布均不计入孔隙水压影响，与实际不符。Dufour等[8]利用Kevin-Voigt蠕变模型，采用Laplace变换计算了黏弹性流变隧洞寿命终止后回填阶段的三维应力位移分布(考虑中主应力影响)，但在计算隧洞开挖、孔压消散等阶段的应力位移响应时，忽略了岩体蠕变[9]。LE等[10]建立了一种考虑时间效应的水力耦合数值模型，说明了泥岩各向异性蠕变对岩体隧洞水力耦合效应的重要影响。GU等[11-12]基于改进的Burgers模型计算了渗流作用下围岩黏弹塑性蠕变行为。这些研究为孔隙水压作用下围岩时效力学行为的分析建立了理论基础，但均没有考虑到孔隙水压对围岩力学参数的劣化影响以及由之产生的时效变形响应。从现场实测与试验研究可知[1-4]，探讨高孔隙水压作用下深埋隧洞劣化围岩的时效变形具有重要意义。本文基于Terzaghi 有效应力原理，建立孔隙水压作用下轴对称隧洞的平衡方程，基于平面应变理论计算深埋隧洞弹性应力解，并获得高孔隙水压作用下Kelvin流变岩体隧洞在围岩力学参数(黏弹性模量)劣化情况下的黏弹性蠕变解。以期为分析高孔隙水压作用下深埋圆形隧洞劣化围岩的黏弹性变形提供数理力学理论基础。

1考虑孔隙水压作用的围岩应力场

1.1考虑孔隙水压影响的平衡方程

如图1所示，R0为隧洞半径；Rs为渗流响应区半径或者围岩回弹区半径，在R0

平面应变条件下轴对称隧洞的平衡方程[13]：

(1)

根据Terzaghi 有效应力原理：

(2)

图1　隧洞力学模型Fig.1 Tunnel mechanics model

将式(2)代入式(1)，可得

(3)

式中:孔压梯度dpw(r)/dr一般被视为渗流力[14～15]。根据文献[14]，可知

(4)

根据文献[16]，定义Hf为渗流因子，如图1所示。结合式(3)，可得孔隙水压影响下平衡方程。对比基于体力理论的平衡方程[17]，可发现当Rs=αR0(α取值足够大)时两者一致。据此，对照李宗利等[17]成果可佐证本文获得的弹性应力解。

1.2考虑孔隙水压影响的弹性应力分布

用位移分量表示应力分量的Hooke定律为：

(5)

式中:u为径向位移；E和μ分别为围岩弹性模量和泊松比。

将式(5)代入(3)，可得：

(6)

可得式(6)通解：

(7)

将式(7)代入式(5)，可得：

(8)

积分常数可通过如下应力边界条件求得：

(9)

将式(9)代入式(8)，可得积分常数：

(10)

将式(10)代入式(8)，则考虑孔隙水压影响的深埋隧洞弹性应力场如下：

(11)

(12)

深埋隧洞围岩受力与变形是复杂的三维问题，根据文献[18]，有

(13)

据此，可获得孔隙水压作用下深埋隧洞弹性应力场。当Rs=αR0时，文中计算结果与文献[17]一致。

2孔隙水压劣化围岩黏弹性蠕变计算

在高孔隙水压作用下岩体质量不断劣化，其强度和变形刚度逐渐衰减，隧洞变形能力逐步增大。蒋海飞等[4]基于高围压下不同孔隙水压作用时的蠕变试验结果，发现高围压下Kelvin流变岩体的黏弹性模量随孔隙水压增大呈线性递减关系，并提出一个修正的广义Kelvin模型(如图2所示)。该模型的三维蠕变方程为：

(14)

式中:Sij为偏应力；G1为Hooke体黏弹性剪切模量；η2为Kelvin体黏滞系数；G2(G0,pw,t)为劣化黏弹性剪切模量，且G2(G0,pw,t)=G0+βt-atbpw，a，b和β为线性递减关系中的拟合参数。可知G2为初始黏弹性剪切模量G0，孔隙水压pw以及时间t的多元函数，亦为孔隙水压pw的线性递减函数。该函数建立了初始时刻与后续时刻黏弹性剪切模量之间的关系，能够反映材料特性随孔隙水压与时间的劣变过程。

图2　修正广义Kelvin 模型Fig.2 Modified Kelvin model

深埋岩体隧洞变形几何方程为：

ur(r,t)=∫εr(r,t)dr

(15)

ur(r,t)=εθ(r,t)r

(16)

在求解该问题时，式(15)～(16)必须同时满足；但以往为了简化求解，只考虑其中一个几何方程，如Fahimifar解[19]，该解法在几何上并不严谨。为客观获取径向位移解答，假设在黏性响应中，体积应变率保持不变[20]，则

(17)

其中，

(18)

将式(18)代入式(17)，可得

(19)

由此可得带积分常数J的通解：

(20)

对式(14)、式(20)分别求微分，可得：

(21)

进一步可得积分常数J：

(22)

(23)

当不考虑时间效应时，孔隙水压劣化围岩黏弹性蠕变解将退化为隧洞开挖瞬时解，根据文献[17]，可取边界条件：

(24)

将弹性应力场代入式(23)，并代入(20)，借助边界条件(24)可得广义Kelvin流变岩体隧洞在孔隙水压作用下劣化围岩的黏弹性蠕变场：

(25)

3讨论分析

下面对前述考虑高孔隙水压劣化的深埋圆形隧洞围岩黏弹性蠕变解进行计算讨论分析。在参数确定过程中，为了模拟高地应力与高孔隙水压条件，参考文献[17,18]，选取参数p0=30 MPa，pa= 4.9 MPa(等价于500 m水头)。以pa为基准，内外水压比γwh1/pa分别为0，0.5，1，2，5和9。取R0=3 m，μ=0.25，Rs=90 m，γw=9.8 kN/m3，a=0.5，b=0.8，β=-0.03。另外，根据FENG等[21]的研究成果，广义Kelvin模型的蠕变参数选用G0=1 000 MPa，G1=2 000 MPa，η2=10 000 MPa·D。

图3为本文计算结果与GU解[11]的对比。从图3可知，2种计算结果均能体现黏弹性流变岩体的蠕变特性，且吻合度较高。主要区别在于蠕变第2阶段的蠕变率，对比基于Burgers模型的GU解[11]，基于广义Kelvin模型的本文解蠕变率较小。这里给出2种解释，一是由于蠕变模型不同所致，可见正确辨识岩体在受力状态下的蠕变行为至关重要；二是由于黏弹性剪切模量劣化所致，使2种不同模型下的蠕变行为偏离更厉害。

图3　洞壁黏弹性蠕变曲线对比Fig.3 Comparision of viscoelastic creep curves

图4　不同pw下洞壁黏弹性蠕变曲线Fig.4 Viscoelastic creep curve under different pw

图4为不同pw下洞壁黏弹性蠕变曲线。随着孔隙水压增大，洞壁蠕变第2阶段逐渐由稳定向不稳定发展；当pw=15 MPa时，即高孔隙水压作用下隧洞变形能力明显增大，并有可能促使围岩受力进入塑性状态直至加速破坏。增大孔隙水压，深埋Kelvin流变岩体的黏弹性模量显著降低，促使相同应力水平下围岩变形增大，印证了佘成学等的研究成果。

根据式(4)～(5)可知，内外水压比γwh1/pa是孔隙水压分布的影响因素；由于γwh1/pa比值反映了渗流方向[16,22-23](当γwh1/pa<1时，渗流方向为洞外指向洞内，会加剧洞壁位移；当γwh1/pa>1时，渗流方向为洞内指向洞外，会减小洞壁位移；γwh1/pa=1时，则渗流不发生)，因此有必要对该因素展开敏感性分析。

图5　不同γwh1/pa下洞壁黏弹性蠕变曲线Fig.5 Viscoelastic creep curve under different γwh1/pa

图6为不同γwh1/pa下洞壁黏弹性蠕变曲线，初始阶段蠕变速度相对较快，随后曲线趋于平缓，能充分体现Kelvin流变岩体的黏弹性蠕变特性。当γwh1/pa较小时，洞壁时效变形发展较快，衰减蠕变直至稳定蠕变所持续的时间较长。随γwh1/pa增大，曲线趋于平缓，变形量也相应减少。

4结论

1)随着孔隙水压增大，蠕变稳定阶段逐渐向不稳定发展，尤其在高孔隙水压作用下劣化围岩变形能力明显增大；

2)当内外水压比γwh1/pa较小时，洞壁时效变形发展较快，蠕变衰减阶段持续时间较长；

3)高孔隙水压劣化围岩，导致岩体强度和变形刚度双重衰减，深埋岩体隧洞极有可能发生强度破坏以及与时间相关的黏弹塑性大变形。文中只初步解析黏弹性流变问题，对高孔隙水压劣化围岩机制以及相关工程失效问题将在后续研究中深入讨论。

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* 收稿日期：2015-07-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51374112)；福建省自然科学基金资助项目(2014J 01160)；中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室开放基金项目(SKLGDUEK1304)

通讯作者：俞缙(1978-)，男，江苏南京人，教授，博士，从事岩石力学及地下工程方面的研究；E-mail: bugyu0717@hqu.edu.cn

中图分类号：U451.2

文献标志码：A

文章编号：1672-7029(2016)06-1046-07

Viscoelastic deformation solution of surrounding rock within deteriorated effect of pore water pressure

YU Kaimu1，YU Jin1,2，ZHOU Yuqing1

(1.Geotechnical Engineering Institute，Huaqiao University，Xiamen 361021，China；2. State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008，China)

Abstract:Equilibrium equations about axial symmetrical tunnel under pore water pressure have been established based on the Terzaghi effective stress principle. The elastic stress generalized function solution about deep buried tunnels has been calculated using the plane strain theory. Viscoelastic creep solution of deteriorated and Kelvin rheological rock under high pore water pressure has been acquired while the volumetric strain rate remains constant. Sensitivity analysis of various pore water pressures and boundary conditions has been performed based on the comparison between solutions of Gu. The results show that with the increase of pore water pressure, the creep stage change from stable to unstable condition. The deformation capacity of deteriorated rock increases obviously, especially under the action of high pore water pressure. This finding agrees with the test results of Chengxue She. When the inner/outer water pressure ratio is relatively small, the deformation of tunnels’ wall develops rapidly. It has been a long time until decay creep become stable. This study can provide a theoretical basis for the analysis of the deteriorated rock’s viscoelastic deformation of deep buried tunnels under high pore water pressure.

Key words：pore water pressure; equilibrium equation; viscoelastic creep; deteriorated rock; elastic stress