余俊，李真，潘伟波，何月

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)



考虑黏聚力弱化的岩石软化模型研究

余俊，李真，潘伟波，何月

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

摘要:大量研究表明，岩石的破损可以认为是微裂隙的发展过程，从宏观角度体现为黏聚力的弱化和内摩擦角增强。以往的软化模型研究大都考虑了内摩擦角的变化，在前人研究的基础上，将黏聚力的变化引入其中，研究考虑黏聚力弱化的岩石软化模型。将力学参数假设成峰后应变的函数，基于摩尔-库伦破坏准则，建立了以峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr为表征的峰后软化曲线斜率公式。利用Tennessee大理岩试验数据对公式进行验证，得出了内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr关于围压以及峰后应变的函数关系式，利用Matlab得到了峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr拟合曲面，继而论证了岩石峰后力学参数软化规律的假设。将峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr的拟合函数关系式代入到岩石峰后曲线斜率公式中，利用增量广义胡克定律模拟绘出Tennessee大理岩不同围压下的全应力-应变曲线，结果表明不同围压下数值模拟曲线与试验曲线吻合较好，从而验证了本文提出的力学模型的合理性。

关键词：峰后内摩擦角；峰后黏聚力；应力-应变曲线；广义胡克定律；力学模型

大量的室内试验和现场测试结果表明岩石材料的变形和破坏特征与金属材料显著不同。正是由于岩石类材料具有与金属材料不同的材料特性，决定了岩石类材料有许多不同于金属的力学特征，如峰后软化特性等[1-2]。当岩石类材料处于峰值后区时，岩石类材料的力学特性发生很大变化。长期以来，许多学者针对岩石类材料峰后应变软化模型进行了研究，讨论了岩石类材料峰后力学特性的变化，并且提出了相应的力学模型。江权等通过对高地应力岩石的研究，提出了岩体参数动态劣化模型，该模型反应了岩体破损过程中其力学参数(黏聚力C和内摩擦角φ)的动态劣化[3]；Hajiabdolmajid等[4-5]提出了CWFS模型，该模型认为岩石破损时产生的微裂隙增加了岩石的摩阻力，体现为内摩擦角φ的增大。同时，岩石破损降低了岩石的完整性，体现为黏聚力C的减少；Zdenek等[6]提出了考虑了等效应力与等效塑性应变关系的塑性应变软化模型；张帆等[7]通过对花岗岩的大量试验研究建立了花岗岩的软化模型； Rinaldi等[8-9]提出了一种参数易于取得的统计损伤模型。这些模型在很大程度上丰富了岩体峰后应变软化本构模型的研究，但同时应该发现这些研究也存在一些问题：一是在研究岩体峰后力学参数时，大多数没有考虑围压的影响；二是以往的大部分模型仅单独对内摩擦角或黏聚力的变化进行研究，没有同时考虑内摩擦角和黏聚力的变化；三是前期假设的力学参数变化函数在后面没有得到论证。本文在李文婷等[10]研究的基础上，将黏聚力的变化引入到软化模型中，同时考虑内摩擦角和黏聚力的变化，依据峰后岩石内任意一点的应力状态均满足摩尔-库伦极限破坏条件的假设，考虑峰后岩土类材料破坏的力学特点和在岩体破损过程中其力学参数参数(黏聚力C和内摩擦角φ)产生动态劣化，通过严格的数学方法，推导得出了岩石峰值后区曲线斜率K的公式，并依据增量广义胡克定律获得了岩石全应力-应变曲线。室内岩石三轴试验应力-应变曲线拟合计算有力地验证了该模型的合理性。

1岩石峰后本构模型

1.1岩石全应力-应变曲线分析

为了研究岩石峰后力学特性可将岩石全应力应变曲线简化为图1。

图1　岩石峰后应变软化简化模型Fig.1 Post-peak strain softening simplified model of rock

由图1可知，岩石峰前区的曲线是线性的，其斜率K满足如下关系：

(1)

式中：σp为极限应力；εp为与极限应力对应的应变；C为普通常数。

岩石峰后软化段曲线的斜率Kpr不断变化，其满足如下关系：

(2)

式中：σpr为岩石峰后软化段应力；εpr为与σpr对应的峰后软化段应变。

岩石峰后残余强度段由于应力已经稳定不变，其斜率Kr满足如下关系：

(3)

式中：σr为岩石峰后残余应力；εr为与σr对应的峰后残余应变。

1.2岩体峰后力学参数软化规律细观机制

地下工程岩体在开挖过程中，岩体由三向应力状态向二向应力状态方向调整，岩石的力学性质由此发生了转变。仅从细观的角度看，岩石力学性质的转变是由于细微裂隙的产生和扩展；从宏观上来看，岩体力学性质发生改变可看作时岩体黏聚力c和内摩擦角φ等发生改变的过程[3]。岩石微裂隙扩展与力学参数变化见图2[3]。

岩体开挖过程中产生的微裂隙增加了岩体间的阻碍，此种情况从力学的角度来说导致了内摩擦角的增大。另一方面微裂隙的产生和扩展导致岩体整体性降低，从力学的角度来说导致了黏聚力的减小。鉴于以上的分析，可假设岩石峰后黏聚力Cpr和内摩擦角φpr都是峰后应变εpr的函数，即

φpr=fφ(εpr)

(4)

cpr=fc(εpr)

(5)

式中：φpr和Cpr为一定峰后应变εpr下岩体的内摩擦角和黏聚力；fφ(εpr)和fc(εpr)为内摩擦角和黏聚力的变化函数。

图2　岩石裂隙的产生和扩展图Fig.2 Diagram of formation and propagation of rock fracture

1.3峰后本构模型力学参数说明

岩体峰后软化过程中，其力学参数由初始值逐渐递变到残余值。变化函数fφ(εpr)，fc(εpr)的取法不同，则力学参数的递变过程也不同。因此变化函数的选取至关重要。江权等[3]通过对高地应力岩石的研究，提出了岩体参数动态劣化模型，为了简化模型，作者将变化函数fφ(εpr)和fc(εpr)都取为线性函数，但张帆等[7]和张凯等[2]通过研究，得出岩石在软化过程中，黏聚力随峰后应变呈非线性减小，而内摩擦角随峰后应变呈非线性增大。李文婷等[10]在岩石的软化力学行为研究中将fφ(εpr)假设为εpr的二次函数，其数值计算结果和实验结果吻合较好。综合以上研究 ，同时为了使建立的模型具有实际的工程意义，采用简单实用的变化函数以描述岩石峰后力学行为，尽量不采用过于复杂的变化函数和过多的参数，从而本文将fφ(εpr) 和fc(εpr)假设为εpr的二次函数，则式(4)～(5)可写成：

φpr=fφ(εpr)=A+Bεpr+Cεpr2

(6)

(7)

1.4理论推导

由式(6)可得：

φp=A+Bεp+Cεp2

(8)

φr=A+Bεr+Cεr2

(9)

(10)

联立式(8)～(10)求解，可得峰后内摩擦角与峰后应变的关系式为：

(11)

同理，可得峰后黏聚力与峰后应变的关系式为：

(12)

根据摩尔应力圆(见图3)可得

(13)

(14)

联合式(13)～(14),可得：

(15)

(16)

由式(11)～(12),可得：

(17)

(18)

联合式(15)～(18),得到：

{4sec2φpr(φp-φr)(εpr-εr)[σ3cosφpr+

cpr(1-sinφpr)]}/{(εr-εp)2[cosφpr-

(1-sinφpr)tanφpr]2}

(19)

图3　摩尔应力圆Fig.3 Mohr stress circle

2算例验证

为了验证前述的理论推导，利用FANG[11]的大理岩数据，如表1所示。

表1　大理岩三轴试验数据

由摩尔库伦准则可知大理岩峰值强度随着围压的增大而增大，和围压呈线性关系，即：

坚持用习近平新时代中国特色社会主义思想武装全党和全国各族人民是一项重大战略任务，作为党校教员，必须深入学懂学深学透，把《习近平谈治国理政》《党的十九大报告辅导读本》《习近平新时代中国特色社会主义思想三十讲》等著作烂熟于心。党校教员要守好底线，务必同以习近平同志为核心的党中央保持高度一致，自觉向党中央看齐，向习近平总书记看齐，向党的基本理论基本路线基本方针看齐。党校姓党，党校课堂就不能有杂音，就要坚决维护好党中央权威，确保党中央令行禁止。

σp=mp+kpσ3

(20)

对表1中的试验数据进行一元回归分析可得：

σp=139.64+2.846 8σ3

(21)

其相关系数为0.995 59，联立式(20)～(21)，按照摩尔-库伦准则，求得大理岩在峰值时的C和φ为：Cp=41.4 MPa，φp=28.7°。

同理求得大理岩在残余强度时的C和φ为：Cr=9.9 MPa，φr=41.2°。

对表1中的残余强度进行二次函数回归分析，其相关系数为0.988 69，得残余强度与围压的关系，即：

(22)

由Joseph[12]关于峰值强度与残余强度的研究有：

(23)

将式(21)～(22)联合求解，可得临界围压σ3t=49.3 MPa，由mr可知岩石单轴抗压残余强度σcr=43.571 MPa。将其代入式(23)中可得峰后残余强度关于围压的数值模拟公式。

(a)内摩擦角φ;(b)黏聚力C图4　Tennessee大理岩C,φ与应变关系Fig.4 Relationship diagram of C,φ with strain

将所计算φp和φr数值及εp和εr拟合关系式代入到式(11)可得峰后内摩擦角φpr与围压σ3及峰后应变εpr的关系为：

φpr=41.2-

(24)

其中εp≤εpr≤εr

将前述计算的Cp和Cr数值及εp和εr拟合关系式代入式(12)可得峰后黏聚力Cpr与围压σ3及峰后应变εpr的关系为：

cpr=9.9+

(25)

其中εp≤εpr≤εr

根据式(24)～(25)，用Matlab建立峰后内摩擦角φpr和黏聚力Cpr与围压σ3及峰后应变εpr的拟合曲面，见图5。

(a)内摩擦角φ;(b)黏聚力C图5　Tennessee大理岩峰后内摩擦角、黏聚力拟合曲面Fig.5 Fitting surfaces of φ and C

由图5可以看出：围压σ3和峰后应变εpr对峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr也有明显影响。当εpr一定时，随着σ3的增加，φpr呈快速减小趋势，而Cpr则显著增加。反之当σ3一定时，随着εpr的增加，φpr呈快速增加趋势，而Cpr则显著减小。

图6　数值模拟曲线Fig.6 Numerical simulation curves

由式(1)可得Tennessee大理岩峰前区域有：

σ=Kε

(26)

由图6可得Tennessee大理岩峰后区域有：

σ2=Kprδε+σ1

(27)

由式(27)经过增量广义胡克定律递推可得整个峰后区域的应力应变关系。

由式(3)可得Tennessee大理岩残余强度区域有：

σ=σr

(28)

式(28)中的σr由式(23)确定。

将前述计算的φp和φr数值及εp和εr拟合关系式，以及式(24)～(25)代入式(19)，可得峰后斜率Kpr的表达式。把峰后斜率Kpr的表达式代入到式(27)中利用增量广义胡克定律可得峰后区域应力关于应变的关系，再联合式(26)，(28)即可以模拟绘出表1中围压分别为6.9，13.8，20.7，27.6，34.5，48.3 MPa的数值模拟全应力应变曲线与试验数据全应力应变曲线的对比图(见图7)。

由图7可知，几种围压下的试验曲线和数值模拟曲线之间吻合程度高，不同围压下数值模拟峰后曲线与试验曲线变化趋势基本一致，这表明本文所建立的力学模型可以较好地描述不同围压下Tennessee大理岩的峰后力学行为。

(a)6.9 MPa；(b)13.8 MPa；(c)20.7 MPa；(d)27.6 MPa；(e)34.5 MPa；(f)48.3 MPa图7　Tennessee大理岩数值模拟曲线与试验曲线对比图Fig.7 Contrast between the numerical simulation curves and the testl curves

3结论

1)考虑峰后岩土类材料破坏的力学特点和在现实工程中岩体参数(黏聚力C和内摩擦角φ)发生动态劣化，将黏聚力的弱化引入到模型研究中，建立了以峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr为表征的峰后软化阶段应力应变曲线的斜率Kpr的公式。

2)利用Tennessee大理岩试验数据给出了不同围压下峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr的随峰后应变的演变规律，验证了将内摩擦角和黏聚力按峰后应变二次函数变化的假设。

3)将峰后内摩擦角φpr和峰后黏聚力Cpr的变化函数关系式代入峰后软化阶段应力应变曲线的斜率Kpr的公式中，结合增量广义胡克定律，继而模拟绘出Tennessee大理岩不同围压下的全应力-应变曲线，结果表明几种围压下的试验曲线和数值模拟曲线之间吻合程度高，从而验证了本文力学模型的合理性。模拟曲线和试验曲线均表明，低围压下，Tennessee大理岩呈现脆性特征，具有明显的应变软化现象，残余强度和峰值强度相差较大；随着围压的升高，Tennessee大理岩由脆性转向延性，塑性变形能力大大增强，残余强度和峰值强度间的差距逐渐减小，当围压达到临界围压σ3t时，残余强度转变为峰值强度。

参考文献：

[1] 尤明庆. 岩石的力学性质[M]. 北京：地质出版社，2007.

YOU Mingqing. Mechanical properties of rocks[M]. Beijing: Geological Publishing House, 2007.

[2] 张凯，周辉，冯夏庭，等. 大理岩弹塑性耦合特性试验研究[J].岩土力学，2010，31(8)：2425-2434.

ZHANG Kai, ZHOU Hui, FENG Xiating, et al. Experiment study of elasto-plastic coupling character of marble[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010，31(8)：2425-2434.

[3] 江权，冯夏庭，陈国庆. 考虑高地应力下围岩劣化的硬岩本构模型研究[J]. 岩石力学与工程学报，2008，27(1)：144-152.

JIANG Quan, FENG Xiating, CHEN Guoqing. Study of constitutive model of hard rock considering surrounding rock deterioration under high geostresses[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(1): 144-152.

[4] Hajiabdolmajid V. Mobilization of strength in brittle failure of rock[D]. Kingston, Canada: Department of Mining Engineering, Queen’s University, 2001.

[5] Hajiabdomajid V, Kaiser P K, Martin C D. Modeling brittle failure of rock[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 2002, 39(5): 731-741.

[6] Zdenek P, Bazant F. Continuum theory for strain-softening[J]. Journal of Engineering Mechanics, 1984，110(12): 1666-1692.

[7] 张帆，盛谦，朱泽奇，等. 三峡花岗岩峰后力学特性及应变软化模型研究[J]. 岩石力学与工程学报，2008，27(增1)：2651-2655.

ZHANG Fan, SHENG Qian, ZHU Zeqi, et al. Study of post-peak mechanical behavior and strain-softening model of Three Gorges granite[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2008, 27(Suppl 1): 2651-2655.

[8] Rinaldi A, Peralta P, Krajcinovic D. Prediction of scatter in fatigue properties using discrete damage mechanics[J]. International Journal of Fatigue, 2006, 28(9): 1069-1080.

[9] 唐春安. 岩石破裂过程中的灾变[M]. 北京：煤炭工业出版社，1993: 40-48.

TANG Chun’an. Catastrophe in rock unstable failure[M]. Beijing: China Coal Industry Publishing House, 1993: 40-48.

[10] 李文婷，李树忱，冯现大，等. 基于摩尔-库伦准则的岩石峰后应变软化力学行为研究[J]. 岩石力学与工程学报，2011，30(7)：1460-1466.

LI Wenting, LI Shuchen, FEN Xianda, et al. Study on post-peak strain softening mechanical properties of rock base on mohr-coulomb criterion[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,211,30(7):1460-1466.

[11] FANG Z,Harrison J P. A mechanical degradation index for rock[J]. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences,2001,38(8):1193-1199.

[12] Joseph T G. Estimation of the post-failure stiffness of rock[D]. Alberta, Canada: University of Alberta, 2000.

* 收稿日期：2015-09-01

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51008311);高等学校博士学科点专项科研基金资助课题(20100162120037)

通讯作者：余俊(1978-)，男，湖北武汉人，副教授，博士，从事隧道与地下工程、土-结构相互作用等方面的教学和科研;E-mail:jjyy1017@163.com

中图分类号：TU45

文献标志码：A

文章编号：1672-7029(2016)06-1039-07

Research on softening model of rock with the weakening of cohesion

YU Jun，LI Zhen，PAN Weibo，HE Yue

(School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，China)

Abstract:A lot of researches show that the damage of rock can be considered as a process of the development of micro cracks. It can also be considered as a process of the weakening of cohesion and the enhanceent of internal friction angle in macroscopic angle. In the past, most of the research on the softening model only considered the variation of internal friction angle. On the basis of previous studies, the cohesion is embedded into the softening model of rock, and the model with the weakening of cohesion is studied. Assuming that the mechanical parameter is a function of the post peak strain, the post-peak slope formula about the post-peak internal friction angle φprand the post-peak cohesion Cpris derived based on Mohr-Coulomb criterion. Then the Tennessee marble test data is used to verify the formula, and the post-peak internal friction angle φprformula, the post-peak cohesion Cprformula that both about confining pressure and strain are obtained. With the use of Matlab software, the relationship between the post-peak internal friction angle φpr, the post-peak cohesion Cpr, the post-peak strain and confining pressure are fitted by surface. Based on this relationship, the hypothesiss of the post-peak mechanical parameters softening law are demonstrated. The formula of the post-peak internal friction angle φprand the post-peak cohesion Cprare embedded into the formula of the post-peak slope. The complete stress-strain curves under different confining pressures are got by means of Incremental generalized Hooke's law and they fit well with test curves. These results show that the mechanical model proposed by this paper is reasonable.

Key words：the post-peak internal friction angle; the post-peak cohesion; the stress-strain curves; Generalized Hooke's law; mechanical model