郑帅群，周海祚，郑　刚

(1.天津大学建筑工程学院，天津　300072；2.滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室(天津大学)，天津　300072; 3.天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津　300072)



圆形及矩形基础非均质地基极限承载力数值分析

郑帅群1，2，3，周海祚1，2，3，郑刚1，2，3

(1.天津大学建筑工程学院，天津300072；2.滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室(天津大学)，天津300072; 3.天津大学水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津300072)

摘要：我国经济发达地区广泛分布有软弱黏性土地基，近年大量超高、超大建筑和高速铁路等设施的快速建设对这类复杂地基极限承载力及破坏机理的认识提出更高的要求。采用有限差分方法建立三维数值分析模型，分析强度随深度线性增大的黏性土非均质地基在矩形基础和圆形基础情况下的地基极限承载力和破坏模式。结果表明：黏性土强度不均匀系数越大，地基承载力系数越大；基底粗糙度通过影响土体发生破坏的位置影响地基承载力系数；矩形基础和圆形基础的基础形状系数随着土体强度不均匀系数的增大而减小；数值计算得到的长宽比为10的矩形基础情况下的地基承载力系数与条形基础情况下的地基承载力系数相等。

关键词：非均质；黏性土；矩形基础；圆形基础；极限承载力

我国经济发达地区广泛分布有软弱黏性土地基，这种地基往往是非均质的，地基中不同深度处土的抗剪强度不同，而现有的地基承载力计算理论一般仅适用于均质地基情况。此外，随着近些年我国国民经济的飞速发展，大量超高、超大建筑在经济发达地区出现，高速铁路等基础设施也处于快速建设中，这些工程项目都对地基的承载力和变形能力提出了更高的要求。这些都要求对非均质地基的极限承载力和破坏机理有更深的认识。

目前，针对均质地基承载力及其破坏模式的研究开展得比较广泛。Prandtl[1]推导了不考虑土体自重的情况下基础底面光滑时浅基础地基土体达到塑性极限状态时的极限承载力，提出了地基极限承载力公式

(1)

其中，c为土体黏聚力；q为基础两侧超载；Nc和Nq为承载力系数。得到了不同内摩擦角时基础底面光滑条件下Nc和Nq的严密解，并给出了计算公式。Terzaghi[2]在其基础上提出了考虑土体自重情况下浅基础地基中心竖向承载力公式

(2)

其中，γ为土体重度；b为基础宽度；Nγ为承载力系数。Terzaghi考虑了土体重度对极限承载力的贡献，并给出了基础底面粗糙条件下Nc和Nq的严密解。

对于黏聚力随深度线性增大的软弱黏性土非均质地基，Davis和Booker[3]采用滑移线法探讨了条形基础情况下的地基极限承载力，Tani和Craig[4]对条形基础和圆形基础情况下的地基极限承载力进行了分析。Skempton[5]与Peck等[6]采用等效黏聚力的方法，分别用基础下深度为2/3倍基础宽度和1倍基础宽度范围内黏性土的平均黏聚力作为均质地基的黏聚力，根据均质地基极限承载力系数给出非均质地基情况下的地基极限承载力系数Nc0

图1　数值计算模型

(3)

(4)

式中，kB/c0为黏性土强度不均匀系数，其中k为黏性土黏聚力随深度的变化率；B为基础宽度；c0为地基表面土的黏聚力。赵少飞，栾茂田等[7]采用FLAC建立二维有限差分计算模型，分析了条形基础和圆形基础情况下非均质地基极限承载力，给出了条形基础和圆形基础情况下非均质地基承载力系数随黏性土强度不均匀系数变化的变化规律以及破坏模式变化情况，计算并给出了采用平面应变方法计算得到的圆形基础形状系数，揭示了这种非均质地基的破坏机理。但工程中更常见的三维矩形基础及圆形基础的非均质地基极限承载力的研究开展较少。

本文用有限差分方法建立三维地基承载力计算模型，模拟分析条形基础、矩形基础和圆形基础分别在基础底面与地基接触面完全光滑和完全粗糙情况下的非均质地基，计算地基极限承载力分析其破坏模式，并分析不同黏性土黏聚力随深度的变化率k对非均质地基极限承载力、地基承载力系数和破坏模式的影响。计算基础形状系数并对比二维、三维数值分析方法对计算结果的影响。

1数值分析模型及验证

1.1数值模型及计算参数介绍

根据对称性，条形基础情况下取1/2模型进行计算，矩形和圆形基础情况下取1/4模型进行计算。条形基础计算模型中，基础半宽为B/2，选定的地基横向计算范围为5B，深度计算范围为5B，如图1(a)所示；对于矩形基础，其基础半宽为B/2，基础半长为L/2，选定的横向计算范围为5B，纵向计算范围为5L，深度计算范围为5B；圆形基础的半径R=B/2，地基计算范围与条形基础计算范围一致，地基土符合理想Mohr-Coulomb破坏准则。结合已有关于类似情况下网格划分的研究[8]和笔者经验[9]及试算，为保证计算精度，在基底下水平方向2B和深度方向2B范围内采用加密网格(单个网格尺寸为0.2 m×0.2 m×0.2 m)，其他区域采用水平向和竖向宽度渐变网格。模型边界条件如图1所示，对称边界节点限制水平位移，即在每个节点上设置一个横向铰结链杆，此时单元体不能自由转动，对称边界上不产生水平和转动位移，以此保证其作用情况与全尺寸模型一致，非对称边界限制水平及竖向位移。基础底面与地基表面的接触条件考虑完全光滑和完全粗糙两种情况，当接触条件为完全粗糙时，地基和基础间不发生相对滑动。

假定非均质黏性土地基的不排水抗剪强度随土体深度的增加而线性增大，取地基表面土的黏聚力为c0=100 kPa，土中深度为d处的土体黏聚力为c=c0+kd，其中k为黏性土强度不均匀系数，如图2所示。本文计算中选取不均匀系数kB/c0=0，1，2，3，4，5，10，15，20，25和30等11种情况进行计算，并与前人得到的结果进行了对比，此外还计算了矩形基础和圆形基础的基础形状系数。当kB/c0=0时，黏性土地基的不排水抗剪强度不随土体深度增加而改变，即此时的地基是黏聚力为c0的均质地基。土的剪切模量G=100 MPa，体积模量K=200 MPa，土体重度取γ=10 kN/m3，内摩擦角取0°。

图2　黏性土强度

通过直接对基础宽度范围内的地基表层节点施加竖向速度矢量的方式模拟刚性基础的作用，其边界条件与地基土边界条件相同。每次加载过程中提取并记录刚性基础范围内地基表层节点反力，加载过程直到基础竖向位移不断增大而基底反力不再增加，土体进入塑性流动状态为止，这时计算得到的刚性基础范围内地基表层节点反力的合力即为地基的极限承载力，加载速率控制为1×10-6m/时间步。对于内摩擦角等于零的纯黏性土地基，其极限承载力可表示为

(5)

进而计算得到此时非均质地基承载力系数Nc。

1.2模型验证

当不均匀系数kB/c0=0时，本文采用的有限差分方法计算得到的基底完全粗糙情况下均质地基上条形基础破坏模式如图3(a)所示。破坏时，基础以下土体形成一个楔形体向土中更深处刺入，迫使这一楔形体两侧和下部土体向基础两侧运动，形成滑动破坏面，地基破坏模式与Prandtl[10]破坏模式一致。此时的地基承载力系数-沉降曲线如图4所示，计算得到的承载力系数Nc为5.24，与Prandtl得到的理论解(2+π)[10]的相对误差小于2%。当基底与地基的接触面完全光滑时，数值计算得到的承载力系数为5.08，与Prandtl的理论解的相对误差同样小于2%。图3(b)给出了基底完全光滑情况下均质地基上条形基础破坏模式，可以看到此时的破坏模式更接近Hill[11]破坏模式，基础以下没有出现明显的主动区。

图3　条形基础均质地基剪切应变速率

图4　条形基础底面粗糙时均质地基承载力系数-沉降曲线

表1所示为有限差分法计算得到的承载力系数Nc与经典理论解和前人研究成果的对比，表中同时列出了基础形状系数sc(sc=Nc/Nc-strip)以供参考。圆形基础情况下，当基础与地基的接触面完全光滑和完全粗糙时，数值计算得到的承载力系数分别为5.62与6.04，与承载力系数解析解5.69[12]和6.05[13]非常接近。矩形基础情况下，当基础底面与地基接触面完全光滑时，数值计算得到基础长宽比为1时的地基承载力系数为5.26，略低于Michalowski和Dawson[14]采用有限差分法计算获得的5.43以及Gourvenec等[15]采用有限元法计算得到的5.56；当基础底面与地基接触面完全粗糙时，数值计算得到基础长宽比为1时的承载力系数为5.68，介于Salgado等[16]获得的上限解和下限解之间，略小于Gourvenec等[15]得到的5.91。

图5给出了本文计算得到的非均质地基条形基础情况下承载力系数Nc与强度不均匀系数kB/c0之间的关系，并与赵少飞，栾茂田等[7]得到的结果进行了对比。由图中可以看到，当黏性土强度不均匀系数小于5时，承载力系数随不均匀系数呈现非线性增长；当不均匀系数大于5时，承载力系数随不均匀系数呈现近似线性增长。本文采用三维建模方法建立的平面应变模型计算的条形基础计算结果与赵少飞，栾茂田等[7]获得的二维模型计算结果非常接近，最大相对误差小于5%。

图5　条形基础时承载力系数与强度不均匀系数关系曲线

以上对比结果表明，本文建立的三维有限差分计算模型在求解均质地基及条形基础情况下非均质地基的承载力系数Nc时具有足够的计算精度，可基于本模型开展针对矩形及圆形基础情况下非均质纯黏性土地基承载力系数的研究工作。

2数值计算结果与分析

2.1矩形基础情况下地基的极限承载力

由于矩形基础的长宽比会对地基承载力系数计算结果产生明显影响，为明确其影响规律并进一步验证计算模型的正确性，首先计算了不同基础长宽比时的均质黏性土地基极限承载力，并计算得到地基承载力系数，对比结果如图6所示。随着基础宽长比的增大，基础形状从条形向正方形过渡，地基承载力系数呈现非线性增长。本文计算结果介于Salgado等[16]获得的上限解和下限解之间，略小于Gourvenec等[15]采用有限元方法获得的结果。在基础宽长比较小(即矩形基础更接近条形基础)时，本文获得的数值结果与Skempton[18]经验公式计算的结果接近，当基础宽长比较大(即矩形基础更接近正方形基础)时，经验公式的计算结果较大，说明此时经验公式对地基承载力存在一定高估。

由于地基承载力系数随基础宽长比增大而增大，当宽长比为0.1(即长宽比L/B=10)时，矩形基础均质地基承载力系数计算结果为5.21，与条形基础理论解(2+π)[10]相对误差仅为1.4%，因此本文选取宽长比为0.1和1两种情况进行计算和对比分析。

图6　矩形基础均质地基承载力系数与长宽比的关系

图7所示为长宽比L/B=1矩形基础底面完全粗糙情况下均质地基剪切应变速率图。从图7(a)可以看到两方向上地基的破坏模式完全相同。图7(b)为正立面图，可以看到基础下出现主动区，形成楔形体向土中刺入挤压两侧和下部土体，进而形成滑动破坏面，此时均质地基出现比较明显的Prandtl[10]破坏模式。从图7(c)俯视图可以看到，破坏时矩形基础下的楔形体呈正方形，基础周围出现矩形剪切破坏带，基础边缘上各点距离基础中心点越近，剪切运动速率越大。随着与基础中心点距离的增大，剪切运动速率减小，剪切破坏带更接近圆形。

图7　L/B=1矩形基础底面粗糙时地基剪切应变速率(kB/c0=0) (红色框线为基础范围)

图8、图9为长宽比L/B=1矩形基础底面完全粗糙情况下土体强度不均匀系数kB/c0=1和10时的非均质地基剪切应变速率图。此时，随着非均质地基黏性土强度增大，土中应力向地基更深处传递的难度增大，发生剪切破坏的土体深度逐渐变浅，主要集中在地基表层。虽然参与地基剪切破坏作用的地基土深度范围减小，但其水平范围较均质地基明显增大。由图8(b)可以看到，基础以下主动区减小，楔形体体积明显变小；而图9(b)中几乎不存在主动区，楔形体完全消失，破坏模式更接近Hill[11]破坏模式。从图8(c)和图9(c)的俯视图也可以看出，随着黏性土强度不均匀系数的增大，地基中相同深度处土的抗剪强度增大，参与地基剪切破坏作用的土体水平范围明显增大。

图8　L/B=1矩形基础底面粗糙时地基剪切应变速率(kB/c0=1) (红色框线为基础范围)

图9　L/B=1矩形基础底面粗糙时地基剪切应变速率(kB/c0=10) (红色框线为基础范围)

图10给出了基础长宽比L/B=10时均质地基和非均质地基(kB/c0=5、30)的剪切应变速率图。从图10(a)可以看到，从基础短边向基础中心点以下形成斜向的剪切破坏带，延伸至基础下一定深度，沿基础长边方向形成明显的剪切破坏带；而图10(b)和10(c)中则不存在基础下的剪切破坏带，仅在基础边缘形成剪切破坏带。此外，土体强度的增大导致参与地基剪切破坏作用的土的深度减小，水平范围增大。

从图11给出的俯视图可以看到，随着黏性土强度不均匀系数的增大，基础下矩形主动区逐渐减小直到最终消失，非均质地基基础长边下出现明显的剪切破坏带，参与地基剪切破坏作用的土体水平范围显著增大。

图10　L/B=10矩形基础底面粗糙时地基剪切应变速率

图11　L/B=10矩形基础底面粗糙时地基剪切应变速率(红色框线为基础范围)

图11(c)和图12对比可以看到，当基础底面完全粗糙时，由于基础底面对土体运动的限制，基础边缘处形成剪切破坏带；当基础底面完全光滑时，由于基础底面不限制土体的水平运动，基础边缘以外形成明显的剪切破坏带，参与地基剪切破坏运动的土体水平范围与基础底面完全粗糙时相比较小。基底粗糙度对非均质地基土体发生破坏的位置会产生比较明显的影响。

图12　L/B=10矩形基础底面光滑时地基剪切应变速率(kB/c0=10) (红色框线为基础范围)

图13给出了两种不同长宽比的矩形基础情况下地基承载力系数，结果表明随着黏性土强度不均匀系数的增大，地基承载力系数呈现近似线性增长的规律，基底和地基接触面粗糙时的地基承载力系数大于接触面光滑时的承载力系数。这是由于随着黏性土强度的增大，参与地基剪切破坏作用的土体水平范围显著增大，土体体积增大，导致地基极限承载力的提高；接触面粗糙度也能够影响参与地基剪切破坏作用的土体水平范围，进而影响地基极限承载力。

图13　矩形基础时承载力系数与强度不均匀系数关系曲线

图14是矩形基础情况下基础形状系数与黏性土强度不均匀系数的关系。当基础长宽比为1时，形状系数随着不均匀系数的增大而减小，强度不均匀系数kB/c0=2时，形状系数接近1，即此时矩形基础情况下的地基承载力系数与条形基础情况下的地基承载力系数相等。基础底面与地基接触面光滑和粗糙时的形状系数基本相等，说明形状系数与接触面情况无关。当基础长宽比等于10时，基础形状系数保持数值1不变，说明此时的矩形基础与条形基础作用情况相似，地基承载力系数相等。

2.2圆形基础情况下地基的极限承载力

圆形基础情况下地基的破坏模式与长宽比L/B=1时的矩形基础情况类似，图15、图16给出了基础底面与地基接触面完全粗糙情况下，kB/c0=0和15时圆形基础地基破坏时的剪切应变速率图。当kB/c0=0时圆形基础以下土体形成一个楔形体向土中更深处刺入，迫使这一楔形体两侧和下部土体向基础两侧运动，形成滑动破坏面，地基破坏模式与Prandtl[10]破坏模式一致。随着kB/c0的增大，参与地基剪切破坏作用的土体范围变浅、变宽。当kB/c0=15时，参与地基剪切破坏作用的土体几乎仅限于地基表面。

图14　矩形基础形状系数与强度不均匀系数关系曲线

图15　圆形基础底面粗糙时地基剪切应变速率(kB/c0=0)

图16　圆形基础底面粗糙时地基剪切应变速率(kB/c0=15)

图17和图18分别给出了圆形基础情况下地基承载力系数和基础形状系数与黏性土强度不均匀系数关系曲线。从图中可以看到，随着黏性土强度不均匀系数的增大，地基承载力系数呈现近似线性增长的规律，基底和地基接触面粗糙时的地基承载力系数大于接触面光滑时的承载力系数，基础形状系数逐渐减小，最终趋于稳定，这些规律与矩形基础情况下的地基承载力系数变化规律一致。

图17　圆形基础时承载力系数与强度不均匀系数关系曲线

图18　圆形基础形状系数与强度不均匀系数关系曲线

3结论

本文采用有限差分方法建立三维非均质地基承载力计算模型，模拟分析了条形基础、长宽比分别为1和10时的矩形基础及圆形基础情况下的非均质地基极限承载力，基底与地基接触面考虑完全粗糙和完全光滑两种情况，计算了地基承载力系数，并对比了地基破坏模式，得到如下结论：

(1)随着黏性土强度不均匀系数的增大，基底与地基接触面粗糙情况下，基础下主动区会逐渐减小直到最终消失，地基破坏模式由Prandtl[10]破坏模式向Hill[11]破坏模式转化，基础边缘土体出现明显的剪切破坏带，参与地基剪切破坏作用的土体水平范围显著增大，地基承载力系数随黏性土强度不均匀系数的增大呈近似线性增大的规律；

(2)基底粗糙度对非均质地基土体发生破坏的位置会产生比较明显的影响，影响参与地基剪切破坏作用的土体总量，基础底面与地基接触面完全粗糙时的承载力系数大于接触面完全光滑时的承载力系数；

(3)长宽比为1时的矩形基础和圆形基础时的基础形状系数均随黏性土强度不均匀系数的增大而减小，圆形基础的形状系数略大于矩形基础的形状系数；长宽比为10时的矩形基础时的形状系数等于1，此时采用矩形基础计算得到的承载力系数与采用条形基础计算得到的承载力系数相等。

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收稿日期：2015-10-22

基金项目：国家自然科学基金项目(51378345)

作者简介：郑帅群(1991—)，男，硕士研究生，从事土力学及岩土工程的科研工作，E-mail:shuaiqun0123@163.com。

文章编号：1004-2954(2016)06-0106-07

中图分类号：TU470

文献标识码：A

DOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.06.022

Numerical Analysis of Bearing Capacity of Non-homogeneous Foundation for Circular and Rectangular Footings

ZHENG Shuai-qun1，2，3, ZHOU Hai-zuo1，2，3, ZHENG Gang1，2，3

(1.School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China; 2.Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety (Tianjin University)，Ministry of Education，Tianjin 300072，China; 3.State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Abstract：Soft cohesive soil foundations are widely distributed in developed regions in our country. In recent years，as a large number of ultra-high，over-limit buildings and facilities such as high-speed railway are under rapid construction，a deeper understanding of the ultimate bearing capacity and failure mechanism of this kind of foundation is required. Three-dimensional numerical analysis model is established with finite difference method to analyze the ultimate bearing capacity and failure mechanism of cohesive non-homogeneous foundation under rectangular and circular footings. Analysis results show that with the increase of the uneven coefficient of the strength of cohesive soil，the ultimate bearing capacity increases. The roughness of base affects the bearing capacity coefficient. Shape factors of rectangular and circular footings decrease when the uneven coefficient of the strength of cohesive soil increases. The bearing capacity of the rectangular footing with numerically calculated length/width ratio of 10 equals that of rectangular footing.

Key words：Non-homogeneous foundation; Cohesive soil; Rectangular footing; Circular footing; Ultimate bearing capacity