◇姜荣富

返璞归真 平易近人
——读张奠宙教授的文章有感

◇姜荣富

张奠宙教授是著名的数学教育家，在我国数学教育界享有很高的威望。他笔耕不辍，著书立说，为传播数学思想精神、提高教师数学素养发挥了重要作用；他思想敏锐，敢想敢说，为弘扬数学教育优秀传统、推动数学教育改革作出了重要贡献。

张教授的著作很多，包括数学教育、中小学数学研究、数学文化、现代数学史等方面。笔者大概从20年前开始接触张教授的著作，之后就爱不释手且一路追随着他。现在，笔者的书架上珍藏着的张教授的著作已不下20本。他写的文章虽居高临下但平易近人，他用通俗的语言论述数学本质，用清晰的笔调阐释数学思想，用犀利的语言进行评论，用真诚的话语指点迷津。阅读张教授写的文章，你会经历深入浅出的数学思考；讨论张教授提的问题，你能感受到返璞归真的教学之真。笔者也喜欢思考数学与教学的问题，其中有许多想法得益于张教授的启发，至于在文章中直接引用张教授的观点，那就更是数不胜数了。

基础数学的本质和基本思想都是平实朴素的，而对它们的逐步深入和有系统的运用，则又可以用来探索自然、以简驭繁。教师必须对基础数学的本质和基本思想下一番深切的返璞归真的功夫，才能把它教得平实近人[1]。张教授曾经说过“小学数学并不简单”。最近，他在《小学教学（数学版）》杂志上发表了一系列结合教材评论谈数学知识的理解与教学的文章，笔者读后深深地体会到 “教好小学数学更不简单”。我认为“教好数学”需要抓住本质、重视定义、符合逻辑。

一 理解知识要抓住本质，厘清源流

线是组成图形的基本元素之一，小学里要学习线段、直线和射线。教学时，我们分别用拉紧的细绳表示线段的形象，用手电筒发出的光作为射线的形象。为了强调线段与射线的区别，往往把线段的两个端点特别地加以强调（如画大一点，用彩色标记），造成线段不能延长的印象。这样，学生掌握的线段与射线的概念不仅是孤立的，而且是错误的。张教授指出：在欧氏几何中，直线是不定义的原始概念。将线段向一端无限延长之后成为射线，向两端无限延长成为直线[2]。这样，就把线段、直线、射线之间的关系讲得明明白白了。张教授强调：无限延长，需要依靠人们的想象力，人人都天生有这样的想象力[3]。把直线作为不定义的原始概念，可能也是遇到了定义它的现实困难。如果我们承认学生有这样的想象力，就没有必要回到具体情境中去寻找直线与射线的形象，因为“用有限比喻无限，不能真的达到无限”[3]。

笔者理解，教学可从认识线段入手，先观察拉直的细绳、桌面的边缘、房间的踢脚线等形象的事物，从中抽象出线段。再让学生想象线段的延长，引出射线与直线的概念。教学中如果理解了概念之间的关系，就容易抓住它们的本质，再辅以抽象的手段与充分的想象，就能从容地找到合适的教学策略。从现实中抽象出来的概念，可以回到现实中找到它的原型，而在已有概念基础上想象出来的新概念，就不一定要千方百计地回到现实情境中了。

怎样才能抓住数学知识的本质？史学观点与应用价值是两个重要的思考方向，循着这两个方向，容易厘清知识的源与流。在小学里，认识平面直线图形的基本方法是观察它的边与角，角也是组成图形的重要元素之一。一般地，定义角有两种方式：一是从一点出发引出两条射线所组成的图形；二是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。前者称为静态定义，后者称为动态定义。小学教学中，在角的概念学习阶段一般倚重于静态定义，这样处理有没有偏离重点？我们可以循着两个问题来思考：角是如何产生的？角的作用究竟是什么？这两个问题相互联系，并且答案都直接指向于动态定义。为什么这样说呢？联系到“几何学起源于图形大小的度量”的史学观点，不难理解角度就是旋转量多少的度量。张教授指出，角度是确定方向的依据，将方向与角度联接起来，使方向得以数量化，是几何学中的重要一环[4]。角的度量是几何学的基础，需要尽量提前，一旦有了线段和线段的度量，以及角和角的度量，以后的小学几何学内容就有了可靠的度量基础[5]。厘清了知识的源与流，教学的目标与重点就十分清晰了。角度才是角的本质，对于角这个概念的学习，要像线段一样突出其度量的属性，并且在开始学习时就要关注角的大小比较。

二 教学概念要重视定义，突出关键

现代数学中思考问题的基本方式之一，就是在讨论问题之前先想想有关的关键用语的明确含义——定义。有了定义，就有了讨论的依据[6]。定义在数学中的重要性不言而喻，但是作为教育任务的数学，有些定义对于教学却没有什么价值。例如方程，小学数学教材中的定义是“含有未知数的等式叫做方程”。张教授指出，这样的定义对于学生解方程或者理解方程的本质并没有帮助。他建议这样定义方程：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。这样定义，把方程的核心价值提出来了，揭示了概念的数学本质[7]。

再如，关于圆的认识，小学数学中一般要求认识圆的各部分名称，学会画圆，但不讲圆的定义。张教授建议在使用圆规画圆之后，不妨提出如下定义：让线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，我们把另一个端点A所画出的曲线叫做圆，点O称为圆心，OA称为半径。这是一个发生式的定义，具体地描述了画圆的过程，对于学生理解“圆是线段绕其一个端点在平面内旋转一周时另一端点的轨迹”这个数学定义是很有帮助的。

从有利于教师教学、有利于学生理解的角度，张教授对这些传统的数学定义进行适当的改造，创造了新的作为教育任务的数学知识。我们应当重视这些定义对于学生理解数学的重要性，在教学中积累丰富的概念教学的实践经验。

概念的重要性还体现在知识的相互联系之中。如果把数学比喻为一张网，那么概念就是网上的结点，命题就是织网的线。这样理解，判断一个概念是不是重要的方法也很简单，就是看它联系其他概念的多寡。在小学的数与代数中，分数是一个关键的概念，它与除法关系密切，还联系到比的概念，是数系扩展的结果。教学中通常比较注重从直观操作中归纳分数的抽象意义，如把一个月饼平均分成2份，每一份是它的，而对分数表示具体量的大小容易忽视。张教授指出，分数是新的数，数是有大小的，它介于0和1之间[8]。这样，我们容易理解分数的真实含义其实是真分数。联系上述“分月饼”的活动，关键是让学生讨论当一半的大小没有办法用自然数表示时，应该怎么办？浙江特级教师朱国荣老师像教自然数那样教分数[9]，先让学生讨论“9个月饼平均分给4人，结果是什么”，把问题聚焦于：每人分得2个后，剩下的这1个该怎么分？怎么表示？经过讨论，得到“每人分到2个还要多个”。朱老师创设的问题情境，让学生经历了需要“创造”新数的重要思考，并且还原了分数表示具体量大小的本质，是创新的、生动的教学实践。

把分数作为一个具体数量来认识，可以真正解释分数产生于测量的需要。通常的分数定义是：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。张教授指出，这里的一份或几份并不明确，究竟是指物体的本身还是指它们的大小？因此，他建议我们这样来描述分数：将一个整体平均分，这样的一份或几份可以用分数来表示它们的大小。分数能表示小于1、大于0的量[10]。加上“大小”两个字突出了概念定义的关键。

三 思考数学要符合逻辑，适当严谨

在图形与几何教学领域，平行是一个比较重要的概念，小学里学习图形的认识 （如平行四边形）、图形的运动 （平移），到中学还要学习平行线的判定方法。给平行线下定义是件困难的事情，数学家也头疼不已，甚至不知所措。小学里定义为“在同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线”，这个定义存在缺陷，因为对直线无限延长的理解是超经验的，“永不相交”成了没有办法检验的事情。为了加强对平行的感知，我们通过直观操作“发现”平行线之间的距离处处相等。张教授提示，从测量的操作活动中得到这个数学结论，需要跨越许多障碍。虽然小学数学教学中不必严格证明，但是总要符合逻辑才好。如果一味地将未加证明的“发现”不加怀疑地当作真理，久而久之，养成一种不加论证就断然肯定的习惯，必将对以后学习数学理性文明带来负面影响[11]。

即使平行线之间的距离处处相等得到了验证，那么，我们进一步思考，是不是两条直线之间的距离处处相等，这两条直线就互相平行了呢？张教授用平移的概念作为基础，给出简明清晰的解释，并强调理解图形的平移运动，是图上“所有点按同一方向”做相同距离的移动[12]。我们思考，既然平行线之间的距离处处相等的逆命题是成立的，为什么不拿它来作为判定定理呢？张教授指出，平行线的概念涉及无限延长，直接从概念出发来检验无限的过程是不可能的，因此，必须利用第三条直线，借助检验两个同位角是否相等的“有限”手段加以解决[13]。幸运的是，人类早已经能把角的度量做到十分准确，判断两个角是否相等是简单易行的事情。因此，中学里学习的平行线的判定定理，都是从同位角、内错角、同旁内角等角度出发的。思考数学知识内部的这些逻辑，其实也是很有趣的事情，它让我们对数学的公理化思想有了更加深刻的理解。

小学数学教材里的数学知识不可能是严密的，但是，教师应当大体知道它们的逻辑结构，包括公理化的处理方法，领会现代数学的思想，能够比较准确地把握数学本质[14]。教师只有把握了数学本质，教学中才能做到“精中求简”。唯有做好精中求简的研究才能真正提高教学质量与效果，也唯有这样，才能使得基础数学易学、好懂、能懂、会用，从而减轻学生的负担[15]。

张先生是知名的大学数学教授，他能关注并研究基础教育，对广大中小学数学教师来说无疑是一个福音。我们期盼更多的大学教授能像张先生一样，参与到基础教育的数学教学研究中来，引领前行的方向。我们向张教授致以崇高的敬意！

[1][15]项武义.基础代数学[M].人民教育出版社，2004:xii,vii.

[2][3][4][5][12]张奠 宙.数 学概念之间需要融会贯通[J].小学教学（数学版），2015（4）：13，14.

[6]张景中.数学与哲学[M].北京：中国少年儿童出版社，2011:42.

[7][14]张奠宙等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009:111，前言.

[8][10]张奠宙.与时俱进，推陈出新[J].小学教学（数学版），2014（5）：5，6.

[9]朱国荣.像教自然数那样教分数[J].小学教学（数学版），2015（7-8）：42.

[11][13]张奠宙.小学数学课程必须坚持“混而不错”的原则[J].小学 教学（数学 版），2015（2）：4，5.

（作者单位：浙江省新思维教育科学研究院）