杨洪柏，蒋超，石坤举，刘树林

(1.上海开放大学,上海 200433;2.上海大学，上海 200072)

变分模态分解(Variational Mode Decomposi-tion, VMD)假设信号由许多模态函数叠加而成[1]，每个模态函数是具有不同中心频率的调频调幅信号，通过迭代搜寻构造变分模型的极值来确定每个模态函数(分量)的频率中心及带宽，从而实现信号的频域剖分及各分量的有效分离。VMD具有坚实的理论基础，其实质是多个Wiener滤波器组，表现出更好的模态分解效果及噪声鲁棒性[2-4]。但VMD的突出缺点是在信号分解之前必须事先给定模态数K，且分解的准确性依赖于K选择的正确性，K的准确预估是VMD信号分解准确与否的关键[1]。

为解决以上问题，利用经验模态分解(Empir-ical Mode Decomposition, EMD)无需预先设定模态数的自适应分解特点，通过EMD模态中真假模态的评估判断评估出信号中所包含的有效模态数，并将其作为VMD处理过程中K的选择依据，从而解决K给定的盲目性问题。

1 变分模态分解

VMD算法借用了EMD中本征模态函数(Intrinic Mode Function，IMF)的概念，但这一概念被重新定义为一个调幅调频信号[1]

uk(t)=Ak(t)cosφk(t)，

(1)

式中：φk(t)非递减,φ′k(t)≥0；包络线非负，Ak(t)≥0；并且包络线Ak(t)与瞬时频率ωk(t)=φ′k(t)相对于相位φk(t)来说是缓变的。即在[t-δ,t+δ](δ=2π/φ′k(t))的间隔范围内，uk(t)可以看作是一个幅值为Ak(t)、频率为ωk(t)的谐波信号。

为了构造变分模型，需经过如下步骤：1)通过Hilbert变换得到每个模态函数uk(t)的解析信号，从而获得信号的单边频谱；2) 每个模态函数围绕各自估算的中心频率，通过指数修正调制到相应基频带；3) 通过高斯平滑解调信号获得每段带宽，即L2范数梯度的平方根。构造出受约束的变分模型为

(2)

为求取上述约束变分模型的最优解，即各个模态函数，引入惩罚因子α构造如下形式的增广Lagrange函数,即

L({uk},{ωk},λ)=

，(3)

式中：α为惩罚参数；λ为 Lagrange乘子。

将上述Lagrange函数从时域变换到频域，并进行相应的极值求解，分别得到模态分量uk和ωk的频域表达式，即

(5)

然后利用交替方向乘子算法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM)求约束变分模型的最优解，从而将原始信号分解为K个窄带模态分量。具体算法如下：

从算法中看出，K需要预先给定。为验证K的选择对分解模态的影响，构造了一个三分量的合成信号，即

f=cos(2π2t)+0.3cos(2π35t)+

0.02cos(2π300t)。

(6)

K取1～10分别进行研究，通过观察信号的分解结果可知：K>3时会产生过分解，原始信号中的某个分量会被分解成多个模态，原始分量被分解得面目全非，且运算量大；K<3时会出现欠分解，其中的某个分量要么被拆分后叠加到相邻的分量上产生混叠，要么信息被丢失；K=3时，预设值与实际模态数吻合，分解出比较精准的模态各分量。从仿真结果看，在K选取合理的情况下，能够从原始信号中分解出精度较高的分量，不会产生混叠和过分解现象。因此，K的预先合理估计对于VMD的应用具有重要意义。

2 K的估算方法

EMD[5]的本质是将多分量非平稳信号分解成具有窄带频率成分的一系列近乎平稳的本征模态函数，其无需信号的先验知识,分解过程完全由数据自身驱动,本征模态函数自适应地从原信号中分解得到,是后验、完全自适应地分解[6-9]。因此，尝试应用EMD自适应分解的特性，来评估有效的模态数，作为VMD算法中K的估计值，使VMD得到精度较高的模态分量。

2.1 无噪仿真信号的K估计

对于无噪信号的K估计，仍用(6)式的仿真信号进行研究。首先进行EMD处理，得到与原始分量一致的3个模态分量，即K=3；然后用K=3进行VMD处理，也准确分解出来3个模态分量。在这种情况下，VMD与EMD的精度区别不大，但是验证了K的估值是有效的。

2.2 含噪仿真信号的K估计

对于含噪信号的K估计，在(6)式的基础上加入强度为0.1的加性高斯白噪声η，即

f=cos(2π2t)+0.3cos(2π35t)+

0.02cos(2π300t)+η。

(7)

应用EMD对信号进行分解，得到6层模态分量(图1a)，从图中可以看出产生了一些虚假分量，无法直接获取有效分量个数。因此，对各模态分量进行频谱分析，结果如图1b所示:模态1和模态2的频谱频带很宽，可视为噪声，无频率中心；模态3和模态4的频谱都在36 Hz左右，可认为这2个分量具有一个频率中心；模态5和模态6可分别视作一个独立分量；因而整个频谱图可分为3个模态分量，即K=3。

(a) 各模态分量

选择K=3对信号进行VMD处理，得到3个模态分量及其频谱图，如图2所示。

从图2可以看出：原始信号角频率分别为12.57，219.9和1 885 rad/s的3个模态分量被如实重现；低频部分与原输入信号吻合，还原精度高；高频部分(300 Hz)由于受噪声影响较大，幅值存在误差，但仍能准确反映信号频率。与图1相比，VMD可以分解出频率中心和频带确定的模态分量，且在噪声方面具有较强的鲁棒性。

(a) 各模态分量

3 实测故障信号分析

为验证上述模态数估计方法在实测滚动轴承故障特征提取中的有效性，且能得到更为清晰的特征信号。现以Case Western Reserve University轴承数据中心的内圈故障数据为例进行分析。试验轴承为6205-2RS JEM SKF深沟球轴承，采样频率为12 kHz, 转速为1 730 r/min，轴承内圈故障特征频率理论计算值为156.1 Hz。

对该内圈故障信号进行EMD处理，得到12层模态分量，为节省空间，选取前6层模态分量及其包络谱进行显示，如图3所示。从图中可以看出：前3层模态分量的包络谱具有155.3 Hz(可视为实际的故障特征频率)及其2倍频的特征信息；第4层仅能够得到155.3 Hz的故障信息，2倍频信息已被淹没；后8层模态分量基本无法提取出故障特征信息；因而可认为前4层为有效特征信息，即预估K=4。

选取K=4进行VMD处理，得到的模态分量及其包络谱如图4 所示。对比图3可知：VMD的4个模态分量都具备155.3 Hz及其2倍频的特征信息；且VMD各模态分量中特征频率的幅值都要大于EMD各模态分量的对应幅值，特征信息周围噪声也相对少，特征信息部分更为凸显。

(a)各模态分量

取K=5进行VMD处理的结果如图5所示，其中模态5的特征信息非常微弱，其2倍频的故障特征信息幅值仅有0.003，且淹没于周边噪声之中，说明K=4的估值最为合适，模态数的估计方法有效可行。

图5 VMD各模态分量包络谱图(K=5)

4 结束语

VMD在分解模态分量的准确性、精度和噪声鲁棒性方面具有一定的优势，但受参数K的影响较大。从仿真信号和滚动轴承实测信号分解结果看，利用EMD自适应特性对K进行预估确实有效、可行。但当前方法仍基于人工分析，带有一定的经验性，下一步需进行K的自动获取研究，提供更准确的估计，为后续的智能诊断提供依据。