薛正林，夏林林，吴开腾（.四川师范大学 数学与软件科学学院，四川 成都 60066；.重庆巴川中学，重庆 40569；.内江师范学院 四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川 内江 64）



解病态线性方程组的一种数值方法

薛正林1，夏林林2，吴开腾3
（1.四川师范大学 数学与软件科学学院，四川 成都 610066；2.重庆巴川中学，重庆 402569；3.内江师范学院 四川省高等学校数值仿真重点实验室，四川 内江 641112）

摘 要：对于病态的线性方程组的数值方法，一般使用迭代法，而迭代法的收敛速度慢且数值解的精度低，甚至发散.针对此问题，本文推出一个新的数值方法——主元加权松弛迭代法，通过对系数矩阵主元叠加一个权值，并引入松弛参数再对矩阵进行求解，从而能够有效的提高病态线性方程组的收敛速度和数值解精度，并讨论了算法的收敛条件.最后，通过数值实例展示了算法的有效性.

关键词：病态线性方程组；主元加权；松弛迭代；数值解

1 引言

对于线性方程组Ax=b，A为非奇异矩阵.x=［x1,x2,…,xn］T，b=［b1,b2,…,bn］T，现在已经有很多高效的算法求解方程组，但是对于一些特殊的方程组，比如系数矩阵条件数很大的时候，由于迭代过程中的舍入误差，方程组的病态性影响了计算结果的准确性，从而使得数值解与精确解存在巨大的误差.而目前比较主流的解法，例如迭代改善法，投影法，条件预优法，共轭梯度法，智能算法等等.但是有的算法收敛性好但是稳定性差，有的算法有效性好但是算法复杂，有的甚至只能处理不太病……