柴琴琴，林双杰，林琼斌

(1.福州大学电气工程与自动化学院，福建福州350116; 2.福州大学先进控制技术研究中心，福建福州350116)

时滞系统终端时间参数优化控制

柴琴琴1，2，林双杰1，林琼斌1

(1.福州大学电气工程与自动化学院，福建福州350116; 2.福州大学先进控制技术研究中心，福建福州350116)

针对时滞系统终端时间优化控制问题，提出一种基于参数化的数值求解方法.首先将优化控制向量用分段常数函数来近似;然后引入时间转换方法将未知切换时间点和未知终端时间映射到新时间域的固定时间点上，从而将原未知时域的时间最优控制问题近似为固定时域的非线性规划问题;最后采用全联通粒子群算法求解.资源再生系统优化控制问题的仿真结果表明所提方法是有效的.

时滞系统;终端时间最优;控制参数化

0 引言

随着社会经济的发展，时间长短成了衡量化工、生物、制药、工业制造等过程和企业效益的重要因素［1－4］，时间最优控制问题也成了亟需解决的现实问题.时间最优控制问题通常可描述为在满足一定状态变量约束的条件下，寻找最优控制变量和终端时间，使得目标函数值最优.这类优化控制问题很难采用极大值原理求解获得解析解，只能采用数值方法来求解.常用的策略是首先用罚函数策略或Lagrange乘子处理约束条件，将约束优化控制问题转化为无约束优化控制问题;再将时间进行网格划分，在离散化时间区间上采用控制参数化方法将控制向量用分段函数来近似，其中分段函数参数代替原来的控制变量成为待求解的优化变量.至此，原带约束的时间优化控制问题转化为以在终端时间和分段函数参数为优化变量的高维非线性规划问题.然而，未知终端时间仍给近似非线性规划问题的求解带来了困难，为此，文［5－7］提出控制参数化增强转换方法，把未知控制时间和(或)分段函数切换点时刻均映射到一个新时间尺度的固定时间点上，从而将终端时间未知的优化控制问题转化为终端时间已知的优化控制问题，然后采用现有的优化方法进行求解.该方法已成功应用于求解化工、航天等过程的时间优化控制问题［8－9］.此外，文［10］针对复杂约束的最优控制问题提出一种分阶方法来求解时间优化控制问题.然而上述方法主要针对非时滞系统设计，实际系统普遍含有时滞，现有数值求解方法在求解时滞系统时间优化控制问题方面具有局限性.为此，研究如何将参数化控制方法应用于求解时滞系统的时间优化问题.

1 问题描述

考虑如下时滞系统:

其中:T＞0为未知终端时间;x∈Rn为状态向量;x(t－α)∈Rn为滞后的状态向量;α为给定的时滞时间; u(t)∈Rm为系统未知控制向量;f∈Rn为给定的非线性系统函数;φ为0时刻以前系统状态函数.假定函数f为连续可微函数，且φ为二次连续可微函数.

假定系统(1)～(2)满足以下约束:

式中:Tmin、Tmax分别为未知终端时间变化的最小值、最大值;bi、ci，i=1，…，m，分别为第i个未知控制变化的最小值和最大值;gl为第l个状态约束条件;Φl为给定非线性函数.则终端时间优化控制问题可描述为:

问题(P).给定系统(1)～(2)，寻找满足约束(3)～(5)的最优终端时间T和控制参数u使如下性能指标最优:

式中:Φ0为给定非线性函数，且式(5)、(6)中Φl具有如下统一形式，其中第一项表示终值项，第二项为积分项.

2 优化控制问题近似

01N－1Niki=1，…，m为第i个控制变量在第k个区间段的分段时间函数高度;χ为指示函数，当t∈［τi－1，τi)时，

令σN=［σ1，…，σN］T，表示分段数为N时近似的分段函数高度矩阵，其中σk=［σ1k，…，σmk］T.

针对终端时间未知的问题，令:

首先将控制参数u在时间域［0，T］上用仅在分段点处可能不连续的分段常数函数来近似，该分段常数函数的高度值仅在分段点处发生改变.假定时间域［0，T］被均匀划分为N段，则有:

其中:θ＞0是未知的时间尺度参数.显然当N为已知时，原未知的时间域［0，T］映射到了以s表示的新时间尺度上的固定时间域［0，N］上.则时间转换后的控制变量为:

将式(9)～(10)代入原系统方程(1)～(2)中，有:

原系统约束条件(3)～(5)变为:

目标函数转化为:

则自由终端时间控制问题(P)可近似为参数优化控制问题(P1).给定的系统(11)～(12)，寻找合适的分段数N，满足约束(13)～(15)的最优时间尺度参数θ和控制参数σN最小化目标函数(16).

显然分段数目N的选取会影响求解效率及控制结果，理论上当N→+∞时问题(P1)的最优解将会收敛到原问题(P)的最优解［11］，然而实际计算过程中不可能使得N→+∞.一方面，分段数目N可以通过优化方法来选取，考虑到分段数目N为整数，而时间及控制参数为正实数，若是一起进行优化，则优化问题将为一个混合整数动态规划问题，求解困难.此外，随着N值增加，优化问题维数成倍增长，实际过程中N往往不大.因此，在数值计算过程中，采用分层优化方法，外层优化分段数N，当N为已知时，内层求解问题(P1)的优化变量σN*、θ*，转外层优化.重复上述过程直到目标函数值的变化满足精度为止.对每个给定分段数N，近似优化控制问题(P1)是一系列子空间上的参数优化选择问题，可采用数学规划方法或启发式算法求解.然而经过参数化处理后，原问题的未知积分时间隐含在了近似时间优化控制问题的时滞非线性系统中，使得时滞变为了未知.因此，目标函数对未知参数的梯度信息不仅与目标函数有关，还与时滞系统有关，很难直接采用导数法则求得.另一方面，粒子群算法具有简单、快速及全局收敛等特点，已成功应用于许多高维约束优化问题的求解，针对维数灾难问题本研究将采用具有启发性的粒子群算法求解内层优化控制问题.

3 近似问题求解

3.1 全联通粒子群算法

粒子群算法中将候选解叫做粒子，所有粒子的集合称作种群.粒子群算法中粒子通过对自身经验和社会经验(种群经验)的学习不断调整自己的位置和速度，从而更新种群直到找到最优结果为止.考虑到基本粒子群算法中粒子对单一邻域内最优粒子经验过分看重而导致重要信息丢失、甚至早熟的缺点，文［12］提出全联通粒子群算法(fully informed particle swarm optimization，FIPSO).该算法中粒子的速度和位置按下式进行更新:

其中:p表示粒子群算法寻优过程中的第p次迭代;q，q=1，…，M表示种群中粒子编号，M为种群大小; λ=0.729 8为自身学习因子;ψ=ψ1+…+ψβ为邻域学习因子，β为粒子的邻域粒子个数;υp，q、Xp，q分别表示第p次迭代过程中第q个粒子的速度和位置，满足边界约束:

Pwq表示第q个粒子从邻域中获得的综合信息其中:ωd∈［0，1］为权重系数;Pd，q为第q个粒子邻域中第d个粒子的个体历史最优位置

3.2 基于FIPSO的近似问题求解

粒子群算法只能用来求解仅带优化变量边界约束的约束优化问题，即只能处理边界约束条件(14)，对于含有复杂等式约束或状态约束的近似参数选择问题无法直接求解.为此，引入罚函数方法将状态约束条件和其它约束条件转化为目标函数的惩罚项，从而使优化问题转化为FIPSO可以求解的形式.则问题(P1)可近似为全联通粒子群算法近似求解问题(P2).给定的系统(11)～(12)，寻找合适的分段数N及满足约束(13)～(14)的最优时间尺度参数θ和控制参数σN最小化如下目标函数:

式中:ρl，l=1，…，r为给定的较大值正数，表示对违反第r个约束的优化变量的惩罚.

对于给定的N，基于FIPSO的近似问题求解，按如下步骤进行:

步骤1.给定粒子群算法参数:种群大小M、学习因子、权重因子、粒子邻域、终止条件.

步骤2.初始化满足式(13)～(14)种群PM、各个粒子速度和邻域;令个体粒子历史最优位置矩阵等于初始种群PM.对种群中的每个粒子执行步骤3.

步骤3.从s=0到s=N求解系统方程(11)～(12)获得状态向量x槇;代入公式(19)中求目标函数值.

步骤4.与历史最优解相比更新个体粒子的历史最优位置和种群最优位置.若种群最优解对应的目标函数值满足要求或者迭代次数达到则停止优化转步骤6，否则转步骤5.

步骤5.按式(17)更新粒子速度和位置获得新的种群，当粒子速度或位置超过约束(18)时取其边界值.按步骤3求对应的目标函数值;转步骤4.

步骤6.保存得到的最优解为σN*、θ*，对应的目标函数值为J(N，σN*，θ*)、θ*，最优解X*;增加分段数为N/.若分段数为N与N/所对应的目标函数值变化量小于精度要求则停止计算，否则转步骤2.

4 数值仿真实验与结果

其中:x为生物(鱼类)总质量，kt;u为开采或捕捞力度，kt.渔业资源再生优化控制问题就是要在维持或超过当前资源规模的前提下，避免过度捕捞，在最短的时间内控制捕捞力度使得效益最大化.即在满足如下资源约束条件:x(t)≥2，u(t)≥0，0.6≤T≤20(t∈［0，T］)的基础上，最小化代价方程［13］为:

考虑如下渔业资源再生变化模型［13－14］:

式(22)中第一项为终端时间相关目标函数，第二项为效益相关函数［14］.

采用第3节的方法近似处理后的优化控制问题可描述为问题(P3).给定系统:

式中:ρ为惩罚系数.

采用Matlab编制求解程序，惩罚系数ρ=105.FIPSO参数选择为:种群为30，迭代次数2 000次，邻域中粒子数为6个，权重为1/6.当分段数N分别取2、4、5、8、9、10时，得到的最优目标函数分别为－11.158、－17.491、－25.679、－25.976、－26.160、－26.160.从该结果可看出，随着分段数的增加，目标函数值减少明显，当N≥9时，目标函数值变化小于0.001，达到预设精度要求，因此停止优化.N=9时，对应的最优时间为T=12.10，目标函数最优值为J=－26.16，状态变量和控制向量如图1和图2所示.与文［13］结果T=12.24，J=－26.146相比，虽然采用参数化方法获得的目标函数与文［13］的结果差不多，但最优控制时间更短.此外，从图1和图2中可看出控制参数的变化幅值不大，随着时间的增长系统有趋于稳定的趋势.

5 结语

研究一类时变时滞系统终端时间优化问题，即针对给定时滞系统寻找合适的终端时间和控制向量使目标函数最小.针对时滞系统时间最优问题难直接求解的问题，提出基于控制参数化方法和全连通粒子群算法的数值近似求解方法，并用资源可再生优化控制过程的时间优化控制问题验证了所提方法的有效性.

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(责任编辑:沈芸)

Final time optimal control for time delay systems using control vector parameterization

CHAI Qinqin1，2，LIN Shuangjie1，LIN Qiongbin1
(1.College of Electrical Engineering and Automation，Fuzhou University，Fuzhou，Fujian 350116，China; 2.Research Center for Advanced Process Control，Fuzhou University，Fuzhou，Fujian 350116，China)

A class of final time optimal control problem for time delay systems is considered.A numerical solving method base on control vector parameterization is proposed.In this method，firstly，the control variables are approximated by piecewise constant functions.Then time scaling transformation is used to map the unknown final time and control switching times to fixed time points in a new time horizon.For this，the original final time optimal control problem on an unknown time interval is approximated by a series of nonlinear programming problems on a fix time interval.Finally，a fully informed particle swarm optimization method is then used to solve the approximated problem.Numerical results on a renewable resource optimal control problem demonstrate the effectiveness of the proposed method.

time delay system;final time optimal;control vector parameterization

TP13

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0779

1000－2243(2016)06－0779－05

2015－10－26

柴琴琴(1985－)，讲师，主要从事复杂过程建模、优化控制技术研究，qq.chai@fzu.edu.cn

福建省自然科学基金资助项目(2016J05154);福建省科技重大基金资助项目(2013Y4003);福州大学人才基金资助项目(XRC－1353)