万永良



思维训练营/思想方法

反比例函数思想方法

万永良

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.它揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁.反比例函数一章中主要有数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等.

一、数形结合思想

数形结合就是把数量关系与几何图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而优化解题过程.

A.k1＞k2＞k3B.k3＞k2＞k1

C.k2＞k1＞k3D.k3＞k1＞k2

图1

【解析】先看位置：当k＞0时，两支双曲线分别位于一、三象限内，当k＜0时，两支双曲线分别位于二、四象限内，故k1＜0，k2＞ 0，k3＞0；另一方面越小，图像就越接近坐标轴，故k3＞k2.综合所述，可得k3＞k2＞k1，选B.

【点评】在解决反比例函数的问题时，熟练掌握反比例函数的图像与系数k的关系，把数和形结合起来是解答这类问题的关键.另外，此题还可用特殊值法，也就是用一个具体数值代替这个式子中的字母求解图像问题.

A.图像经过点（1，-2）

B.x＜0时，y随x增大而减小

C.x＞0时，y随x增大而增大

D.图像与直线y=-x有两个交点

【解析】选B.

【点评】画出函数示意图便能轻松获解.

（1）求反比例函数y1、y2和一次函数y3的表达式；

（2）结合图像，求出当y3＞y2＞y1时的取值范围.

图2

（2）x＜-4或1＜x＜4.

【点评】对于第一问，由k的几何意义

图2可得k2=8，从而得到A点的坐标，进一步求出k1，再由A、E两点坐标用待定系数法求出k3和b；对于第二问，一般不用不等式求取值范围，而用以形助数手段直接观察图像得到.

二、函数与方程思想

方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型.

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？

（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的表达式及A2的坐标.

图3

【解析】（1）△P1OA1的面积将逐渐减小；

【点评】把两个正三角形换成正方形或等腰三角形，仍可列方程求解.

（1）求k的值；

【解析】（1）k=8；

【点评】此题考查了用待定系数法求反比例函数表达式中k的值，同时也考查了反比例函数性质与方程思想.

三、分类讨论思想

分类讨论思想就是当我们要解决的问题不能完全确定时，按问题出现的各种情况进行分类，分别作出与各分类相应的结论.

【解析】当两点在同一象限时，即当x1> x2>0或0＞x1>x2时，由于k>0，所以y随x的增大而减小.因为x1>x2，所以y1＜y2.

当两点不在同一象限时，即当x1>0>x2时，因为k>0，x1>0所以y1>0.同理y2＜0，所以y1>y2.

作者单位：（江苏省常州市武进区前黄实验学校）