王志红，袁　彭

(西安电子科技大学 电子信息攻防对抗与仿真重点实验室，陕西 西安 710071)



一种基于半定松弛规划的到达角定位方法

王志红，袁彭

(西安电子科技大学 电子信息攻防对抗与仿真重点实验室，陕西 西安 710071)

摘要针对基于到达角的目标辐射源定位系统，提出了一种基于半定松弛规划的定位方程求解方法。主要思想是将噪声元素添加为有用参数，以增加定位方程凸优化的灵活性。先将目标定位的初始非凸二次优化问题转化为非凸半定优化问题，然后松弛到凸优化问题，再对凸优化问题进行求解作为初始复杂问题的近似解，从而得出目标位置估计。文中采用计算机仿真结果证明了这种解法的有效性。

关键词凸优化；半定松弛；到达角

到达角(Angle of Arrival，AOA)[1]是一个接收器传感器阵元观察到的目标辐射源信号到达角度，通过一个到达角的测量，可以得到一条从目标辐射源到接收传感器阵元的方位线，因此在二维平面内，至少两条方位线的交点就是目标的位置。到达角定位在电子战领域中应用广泛，例如无源定位雷达和移动远距通信系统。

在得到到达角测量值后，可分为线性和非线性[2]两类求解目标定位方法，第一类直接处理代入测量值后的非线性定位方程，包括非线性最小二乘法和最大似然估计法。而第二类方法则将非线性方程转化为线性方程，然后再进行求解。对比以上两类求解方法，前者定位精确度更高但计算复杂度也较大，并且由于多元代价函数而不能保证可以得出全局最优解，后者计算简单，但定位精度却由于线性化处理而降低，尤其在大噪声条件下情况更差[3-4]。而半定松弛规划方法[5-6]以其高精度和全局收敛特性，是近来研究颇多的一种结合线性和非线性方法优势的新型定位方法。此方法先将最小二乘或最大似然估计非线性问题转换为等价的约束最优化问题，然后去掉一些约束条件以得出全局最优解。

1半定松弛概念

半定松弛技术(Semi-Definite Relaxation，SDR)是近年来在信号处理和通信领域的一个热点研究，并且在大量应用中表现出优势。简而言之，SDR是一种高效而计算简单的复杂问题优化技术，它可以应用到许多非凸二次优化问题中，其中包括到达角定位的二次优化问题。

在一般目标定位算法中，主要关心实值齐次二次规划问题，如下

(1)

(2)

尤其是式(1)中的目标函数和约束的矩阵xxT都是线性的，从而可以引入一个新的矩阵X=xxT，可以看出X=xxT是一个秩为1对称半正定矩阵，所以可以得到式(1)的等价方程描述如下

(3)

其中，用X±0表示X是一个半正定矩阵。

到这里似乎没有得到任何成果，因为式(3)和式(2)描述的问题具有同样的复杂度，但式(3)可以让看到解决式(2)问题中最重要的复杂因素，也就是式(2)问题的唯一复杂约束就是rank(X)=1，这个条件是非凸问题(而其他包括目标函数和约束都是凸问题)，因此，可以得到式(2)的一个松弛描述，如下

(4)

ACVXcodeforSDR

cvx_beginsdp

variableX(n,n)symmetric

minimize(trace(C*X));

subjectto

fori=1:p

trace(A(:,:,i)*X) >=b(i);

end

fori=p+1:m

trace(A(:,:,i)*X) ==b(i);

end

X==semidefinite(n);

cvx_end

2半定松弛规划的到达角定位算法

以二维多传感器到达角定位作为研究对象，首先假设目标辐射源与接收传感器距离在视距传输范围内，以保证两者之间的直接传播路径。设未知目标辐射源位置坐标为x=[x y]T，L个已知位置的接收传感器器坐标为xl=[x1y1]T，l=1,2,…,L,其中，L≥2为接收传感器的数量，如图1所示。2维到达角定位所需要的传感器数目最少为2，然而传感器的数量越多定位性能越佳。

图1　到达角定位示意图

到达角测量可表述为以下模型

(5)

(6)

(7)

对式(7)的第一个约束等式两边取正切并推导得

(8)

(9)

(10)

其中，

y=diag(a)tan(φ)-b

(11)

A=[diag(a)+diag(b)diag(tan(φ))tan(φ)-

1L-IL-diag(tan(φ))]

(12)

(13)

(14)

(15)

其中，±为半定松弛规划中的正半正定运算符。

3达角定位算法优化标准

克拉美罗下界(CRLB)[7]作为无偏估计的下界，提供了比较无偏估计性能的一个标准，不可能找到估计方差小于CRLB的无偏估计。因此本文中采用CRLB作为优化标准，而CRLB由Fisher信息矩阵(Fisher Information Matrix，FIM)的逆给出，Fisher信息矩阵为

(16)

其中，J0为到达角定位的雅可比行列式

(17)

∑为到达角定位的噪声协方差矩阵

(18)

FIM可整理为

(19)

其中

(20)

式中，ul是来自第l个传感器的单位正交向量。

4仿真结果及结论

图2　仿真中接收传感器与目标辐射源位置

对比克拉美罗下界(CRLB)和一种线性最小二乘法[4]，得到Matlab仿真图，如图3所示，仿真图的横坐标为测量误差的协方差，纵坐标是定位误差的均方误差，为方便查看均取为以10为底的对数形式，“Δ”代表文献[4]提出的线性最小二乘到达角定位法定位精度，“○”代表本文的方法定位精度，直线代表克拉美罗下界。从图3中可以看出，本文提出的半定松弛规划的到达角定位方法性能优于文献[4]中的方法，并且在σ2≤-8均方误差接近克拉美罗下界。

图3　到达角定位均方误差仿真

综合以上内容可以了解到，本文通过添加噪声作为有用变量，提出了一种基于半定松弛的到达角定位方程解法，此方法将目标位置求解的非凸二次优化问题转化为可以有效求解的半定规划问题，并且仿真结果证明了其有效性和高精度特点，另外该方法无需噪声的先验知识，在无源定位中有一定的应用前景。

参考文献

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A Semi-Definite Relaxation Programming Approach to AOA Source Localization

WANG Zhihong, YUAN Peng

(Key Laboratory of Electronic Information Countermeasure and Simulation Technology

Ministry of Education, Xidian University, Xi’an 710071, China)

AbstractIn this paper, a new semi-definite programming approach is devised for AOA source localization. The main idea is to include the noise components as parameters of interests, which increases the flexibility in the convex optimization formulation. The original non-convex quadratic optimization problem of source position is converted first into an equivalent non-convex semi-definite programming problem, and then into a convex optimization problem, thus resolving the convex optimization problem and serves as a good approximate of original difficult problem. The computer simulation results show that the semi-definite relaxation method can effectively solve the source localization problem．

Keywordsconvex optimization; semi-definite relaxation; angle of arrival

收稿日期:2015- 10- 19

作者简介:王志红(1990-)，男，硕士研究生。研究方向：非合作信号处理。袁彭(1992-)，男，硕士研究生。研究方向：嵌入式技术应用。

doi:10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.07.006

中图分类号TN955

文献标识码A

文章编号1007-7820(2016)07-019-04