李路路,吴保卫,曹　晔,马亚静

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710062)



分数阶不确定奇异系统的镇定

李路路,吴保卫,曹晔,马亚静

(陕西师范大学 数学与信息科学学院,陕西 西安 710062)

摘要:研究阶数0<α<1的分数阶不确定奇异系统的鲁棒镇定问题.利用矩阵奇异值分解和线性矩阵不等式方法提出新的基于观测器的鲁棒状态反馈镇定的充分条件, 同时给出该条件下观测器和状态反馈控制器的具体求解方法.最后通过数值例子验证该方法的有效性.

关键词:分数阶不确定奇异系统; 观测器; 反馈控制器; 线性矩阵不等式

0引言

利用分数阶模型能够更精确地描述一些复杂系统(如粘弹性材料电子电路和热传导等). 因此, 分数阶微积分作为一个有效的数学工具, 已被广泛应用于生物科学及工业工程等领域[1-2]. 稳定性问题是控制理论的一个重要分支,近年来分数阶系统稳定性研究受到学者们的关注[3-4].但是在实际系统中, 由于各种不可避免的因素,使得系统模型的建立常带有不确定性.文献[3]用Lyapunov方法研究了区间不确定分数阶系统的稳定性. 文献[4-5]分别给出了当0<α<1和1<α<2时区间不确定分数阶系统鲁棒稳定的充要条件.文献[6-8]用线性矩阵不等式的方法给出了设计分数阶系统的状态反馈或输出反馈控制器的充要条件.

奇异系统由微分方程描述的子系统和代数方程描述子系统构成, 分别表示状态变量的动态特征和静态关系. 与标准系统相比,奇异系统能更好地表示系统的物理特性, 且奇异系统的描述更为直接和适用. 因而奇异系统被广泛应用于电力系统[9], 经济系统等领域. 文献[10] 研究了分数阶奇异系统的稳定性, 文献[12-13]研究了0<α<2的分数阶不确定奇异系统的鲁棒渐进稳定性问题.以上方法均在状态已知的前提下使用，在实际中系统状态并不完全可知，因此需要基于观测器的控制.文中考虑基于观测器的不确定分数阶奇异系统的镇定问题.运用矩阵奇异值分解和线性矩阵不等式方法给出分数阶不确定奇异系统鲁棒渐进稳定的充分条件.采用以下记号: MT是M的转置,sym{X}=XT+X,⊗表示kronecker积.

1问题描述与预备知识

首先, 给出分数阶微分的Caputo定义:

(1)

考虑如下分数阶奇异系统

(2)

其中α∈(0,1)为分数阶系统的阶数,E∈Rn×n为奇异矩阵,且rank(E)=r

定义1[6]对于分数阶奇异系统(2), 如果∃λ∈C, 使得|λαE-A|≠0,即|λαE-A|不恒为零, 那么(E,A)是正则的.

定义2对分数阶奇异系统(2), 如……