郭　红

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)



一类Kirchhoff方程最小能量变号解的存在性

郭红

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

摘要:研究一类Kirchhoff方程最小能量变号解的存在性, 其中非线性项满足指数增长.首先用Brouwer不动点定理证明M是非空的, 其次寻找能量泛函在M中的极小值点, 最后应用形变引理证明极小值点就是方程的最小能量变号解.方程中由于非局部项的出现导致通常的变分方法不再适用，因此将方程对应的能量泛函限制在M上, 最终得到了方程变号解的存在性结果.

关键词:Kirchhoff方程;Brouwer不动点定理;形变引理;变号解;最小能量

0引言

本文考虑Kirchhoff方程

(1)

变号解的存在性, 其中Ω是R2中有界光滑区域,a,b>0是常数. 非线性项f满足下面条件:

(f1) 对每个β>0, 存在一个正数Cβ,使得|f(t)|,|f′(t)|≤Cβexp(βt2),t∈R；

近年来,Kirchhoff方程

(2)

已经被国内外许多作者进行了深入研究, 并且得到许多重要结果[1-11], 其中Ω是RN中的区域,V(·):Ω→R,f∈C(Ω×R,R),a,b>0是常数. 许多作者研究了Kirchhoff方程的基态解、正解、多重解等问题. 文献[5]用Nehair流形及紧性原理证明了问题(2)基态解的存在性. 其他有关Kirchhoff方程的研究可参看文献[12-16].然而,研究Kirchhoff方程变号解的结果还不多,文献[17]研究了三维情形下Kirchhoff方程变号解的存在性,他们的非线性项都是次临界增长,也就是|f(x,t)|≤C(1+|t|p),p∈(1,5).受此启发, 本文研究带有指数增长的Kirchhoff方程变号解的存在性.

(u,v)=∫Ω▽u·▽v,‖u‖=(u,u)1/2.

空间Lp(Ω)是通常的Lebesgue空间, 其范数记为|·|p, 1≤p<∞.C和Ck代表不同的正常数.u+(x)=max{0,u(x)},u-(x)=min{0,u(x)}.R+:=[0,+∞).

问题(1)对应的能量泛函为

显然I∈C1(X,R), 且∀u,v∈X,

〈I′(u),v〉=a∫Ω▽u·▽v+b∫Ω|▽u|2∫Ω▽u·▽v-∫Ωf(u)v.

定义M={u∈X:u±≠0,〈I′(u),u+〉=〈I′(u),u-〉=0}.m=min{I(u):u∈M}.

定理1假设 (f1)～(f4)成立,那么方程(1)有一个最小能量变号解.

1预备知识

引理1假设f满足(f1)～(f4),则对每个u≠0,u∈X,有

证明(ⅰ) 由(f1……